Sejam ( x_{n} ) uma sequência de números reais e \mathbb{N}^{\prime}=\left\{l_{1}<l_{2}<\ldots<l_{k}<\ldots\right\} e \mathbb{N}^{\prime \prime}=\left\{m_{1}<\right. \left.m_{2}<\ldots<m_{k}<\ldots\right\} subconjuntos infinitos de \mathbb{N} tais que \mathbb{N}^{\prime} \cup \mathbb{N}^{\prime \prime}=\mathbb{N}. Generalize o exercício anterior, mostrando que \left(x_{n}\right) converge para L \in \mathbb{R} se, e somente se, as subsequências \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{\prime}} e \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{\prime \prime}} convergem para L.

Passo 1

O enunciado assume uma sequência de reais \bigl(x_{n}\bigr)_{n\in\mathbb{N}} e duas subsequências cujos índices formam conjuntos infinitos \mathbb{N}'=\{l_{1}<l_{2}<\cdots\} e \mathbb{N}''=\{m_{1}<m_{2}<\cdots\} com \mathbb{N}'\cup\mathbb{N}''=\mathbb{N}. Queremos usar a definição de limite de sequência para mostrar que
x_n \to L \quad\Longleftrightarrow\quad x_{l_k}\to L\text{ e }x_{m_k}\to L.

Passo 2

(Necessidade) Suponha que x_n\to L. Então, pela definição, para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, se n\ge N, então
\lvert x_n - L\rvert < \varepsilon.
Como \{l_k\} é estritamente crescente, \lim_{k\to\infty}l_k=+\infty. Logo existe K_1 tal que, para todo k\ge K_1, vale l_k\ge N e, em consequência,
\lvert x_{l_k}-L\rvert < \varepsilon.
Isto mostra x_{l_k}\to L. De modo análogo, usando que m_k\to\infty, obtemos x_{m_k}\to L.

Passo 3

(Suficiência) Agora suponha x_{l_k}\to L e x_{m_k}\to L. Dado \varepsilon>0, existem K_1,K_2\in\mathbb{N} tais que
k\ge K_1\implies \lvert x_{l_k}-L\rvert<\varepsilon, \quad k\ge K_2\implies \lvert x_{m_k}-L\rvert<\varepsilon.
Defina
M = \max\bigl(l_{K_1},\,m_{K_2}\bigr).
Seja n\ge M. Como \mathbb{N}'\cup\mathbb{N}''=\mathbb{N}, ou n=l_k para algum k ou n=m_k para algum k.
  • Se n=l_k, então l_k=n\ge M\ge l_{K_1} e, por crescência, k\ge K_1; daí \lvert x_n-L\rvert=\lvert x_{l_k}-L\rvert<\varepsilon.
  • Se n=m_k, raciocínio análogo com K_2 \lvert x_n-L\rvert<\varepsilon.
Como em ambos os casos \lvert x_n-L\rvert<\varepsilon para todo n\ge M, concluímos x_n\to L.

Resposta

Mostramos que \displaystyle x_n\to L se, e somente se, as subsequências \bigl(x_{l_k}\bigr) e \bigl(x_{m_k}\bigr) convergem para L.

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