Sejam (
) uma sequência de números reais e
e
subconjuntos infinitos de
tais que
. Generalize o exercício anterior, mostrando que
converge para
se, e somente se, as subsequências
e
convergem para
.
Passo 1
O enunciado assume uma sequência de reais
e duas subsequências cujos índices formam conjuntos infinitos
e
com
. Queremos usar a definição de limite de sequência para mostrar que
Passo 2
(Necessidade) Suponha que
. Então, pela definição, para todo
existe
tal que, se
, então
Como
é estritamente crescente,
. Logo existe
tal que, para todo
, vale
e, em consequência,
Isto mostra
. De modo análogo, usando que
, obtemos
.
Passo 3
(Suficiência) Agora suponha
e
. Dado
, existem
tais que
Defina
Seja
. Como
, ou
para algum
ou
para algum
.
- Se
, então e, por crescência, ; daí . - Se
, raciocínio análogo com dá .
Como em ambos os casos
para todo
, concluímos
.
Resposta
Mostramos que
se, e somente se, as subsequências
e
convergem para
.