Mostre que se \left(x_{n}\right) é uma sequência monótona não-decrescente limitada e a=\lim x_{n}, então x_{m}=a para algum m \in \mathbb{N} se, e somente se, temos x_{n}=a para todo n \geq m.

Passo 1

O enunciado considera uma sequência (x_n) monótona não-decrescente e limitada acima, cujo limite é
a = \lim_{n\to\infty} x_n.
Queremos mostrar a equivalência: existe m\in\mathbb{N} tal que x_m = a se, e somente se, para todo n\ge m temos x_n = a.

Passo 2

Como (x_n) é não-decrescente e limitada acima, sabe-se que
a = \sup\{x_n : n\in\mathbb{N}\}.
Isso significa que, para todo n,
x_n \le a,
e dado qualquer \varepsilon>0, existe N com
x_N > a - \varepsilon.

Passo 3

Mostrando “ \Longrightarrow”: suponha que para algum m\in\mathbb{N} seja
x_m = a.
Como a sequência é não-decrescente, para todo n\ge m vale
x_n \ge x_m = a.
Mas também x_n \le a para todo n. Logo, para todo n\ge m
x_n = a.

Passo 4

Mostrando “ \Longleftarrow”: essa direção é imediata, pois se para todo n\ge m temos x_n = a, então em particular, para n=m, segue
x_m = a.

Resposta

Concluímos que, em uma sequência monótona não-decrescente limitada, x_m = a para algum m se, e somente se, x_n = a para todo n\ge m.

Exercícios relacionados