Mostre que se
é uma sequência monótona não-decrescente limitada e
, então
para algum
se, e somente se, temos
para todo
.
Passo 1
O enunciado considera uma sequência
monótona não-decrescente e limitada acima, cujo limite é
Queremos mostrar a equivalência: existe
tal que
se, e somente se, para todo
temos
.
Passo 2
Como
é não-decrescente e limitada acima, sabe-se que
Isso significa que, para todo
,
e dado qualquer
, existe
com
Passo 3
Mostrando “
”: suponha que para algum
seja
Como a sequência é não-decrescente, para todo
vale
Mas também
para todo
. Logo, para todo
Passo 4
Mostrando “
”: essa direção é imediata, pois se para todo
temos
, então em particular, para
, segue
Resposta
Concluímos que, em uma sequência monótona não-decrescente limitada,
para algum
se, e somente se,
para todo
.