Dado
resolva os itens abaixo.
(a) Verifique que a transformada de Laplace da função
definida por
para
é dada por
(b) Use o item anterior para calcular a transformada de Laplace de
.
(a) Verifique que a transformada de Laplace da função
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que, para cada
, a transformada de Laplace de
é
Para isso vamos usar indução em
e integração por partes. Depois aplicamos o resultado à função
usando linearidade.
Passo 2
Caso base
.
Como ,
Como
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que para algum
valha
Queremos mostrar que
Fazemos integração por partes escolhendo
, logo
,
, logo
.
Então
Então
Passo 4
Pela hipótese de indução,
Isso fecha a indução e prova que
para todo
.
Passo 5
Agora
. Usando linearidade,
Pelo resultado,
,
,
.