(3 pontos) Em quais pontos na curva x=2 t^{2}, y=1+4 t-t^{2} a reta tangente tem inclinação 1 ?

Passo 1

Temos a curva paramétrica x=2t^{2}, y=1+4t-t^{2} e precisamos encontrar os pontos onde a reta tangente tem inclinação 1. Para isso, vamos usar derivadas paramétricas: calculamos \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt} e depois usamos
\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.

Passo 2

Calculemos as derivadas em relação a t:
\frac{dx}{dt}=4t, \quad \frac{dy}{dt}=4-2t.

Passo 3

A inclinação da reta tangente é
\frac{dy}{dx}=\frac{4-2t}{4t}.
Impondo \frac{dy}{dx}=1, temos
\frac{4-2t}{4t}=1 \quad\Longrightarrow\quad 4-2t=4t \quad\Longrightarrow\quad 4=6t \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{2}{3}.

Passo 4

Com t=\tfrac{2}{3} obtemos
x=2\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{2}=\frac{8}{9}, \qquad y=1+4\cdot\frac{2}{3}-\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{2} =\frac{29}{9}.

Resposta

O único ponto onde a reta tangente tem inclinação 1 é \bigl(\tfrac{8}{9},\tfrac{29}{9}\bigr).

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