Resolver os seguintes exercicios sobre trigonometria e funçöes trigonométricas.
(1,0 ponto) Em um tríângulo retaingulo, a hipotenusa mede \sqrt{10} e \alpha é um ângulo interno tal que tg \alpha=3. Determine as medidas dos catetos.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo com hipotenusa \sqrt{10} e um ângulo interno \alpha tal que \tan\alpha=3. Vamos usar a definição de tangente e o teorema de Pitágoras para achar as medidas dos catetos.

Passo 2

Para ter \tan\alpha=3, podemos representar o cateto oposto a \alpha como 3k e o cateto adjacente como k, pois
\tan\alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \frac{3k}{k} = 3.

Passo 3

Pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa vale
\sqrt{(3k)^2 + k^2} = \sqrt{9k^2 + k^2} = \sqrt{10k^2} = \sqrt{10}\,\lvert k\rvert.
Como a hipotenusa é \sqrt{10}, temos \sqrt{10}\,\lvert k\rvert = \sqrt{10}, o que implica \lvert k\rvert=1. Tomando k>0, fica k=1.

Passo 4

Substituindo k=1 nos catetos, obtemos:
cateto oposto = 3k = 3 e cateto adjacente = k = 1.

Resposta

O cateto oposto mede 3 e o cateto adjacente mede 1.

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