Dado \mathbf{G}=\left(x+y^{2}\right) \mathbf{a}_{x}+z x \mathbf{a}_{y}+\left(z^{2}+z y\right) \mathbf{a}_{z}, determine a componente vetorial de G ao longo de \mathbf{a}_{\varphi} no ponto \mathrm{P}\left(8,30^{\circ}, 60^{\circ}\right). Sua resposta deve ser dada em coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial em coordenadas cartesianas e pede a componente vetorial de \mathbf{G} ao longo de \mathbf{a}_{\varphi} no ponto \mathrm{P}. Dados que eu peguei do enunciado:
  • Campo: \mathbf{G}=(x+y^{2})\,\mathbf{a}_{x}+z x\,\mathbf{a}_{y}+(z^{2}+z y)\,\mathbf{a}_{z}.
  • Ponto: \mathrm{P}=\bigl(8,30^{\circ},60^{\circ}\bigr). Vou interpretar essas coordenadas como coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), ou seja \,r=8\,,\\ \theta=30^{\circ} (ângulo polar desde o eixo z) e \varphi=60^{\circ} (azimute no plano xy).
    O que se pede:
  • Calcular a componente vetorial de \mathbf{G} ao longo de \mathbf{a}_{\varphi} em \mathrm{P} e apresentar essa componente em coordenadas cartesianas (ou seja, na base \{\mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z\}).

Passo 2

Primeiro passo prático: obter as coordenadas cartesianas de \mathrm{P}. As fórmulas de conversão esféricas \to cartesianas são
x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta,
onde r é a distância ao origem, \theta é o ângulo polar (desde +z) e \varphi é o azimute no plano xy.
Aplicando \,r=8,\\ \theta=30^\circ,\\ \varphi=60^\circ:
\sin30^\circ=\tfrac{1}{2},\quad \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos60^\circ=\tfrac{1}{2}.
Logo
x = 8\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=2, \qquad y = 8\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}, \qquad z = 8\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.

Passo 3

Agora avalio \mathbf{G} no ponto \mathrm{P}. Substituo x=2, y=2\sqrt{3}, z=4\sqrt{3}.
Calculo cada componente:
y^{2}=(2\sqrt{3})^{2}=4\cdot3=12,
G_{x}=x+y^{2}=2+12=14,
G_{y}=z x=(4\sqrt{3})\cdot 2=8\sqrt{3},
z^{2}=(4\sqrt{3})^{2}=16\cdot3=48,\qquad z y=(4\sqrt{3})(2\sqrt{3})=8\cdot3=24,
G_{z}=z^{2}+z y=48+24=72.
Portanto em \mathrm{P}:
\mathbf{G}(\mathrm{P})=14\,\mathbf{a}_x+8\sqrt{3}\,\mathbf{a}_y+72\,\mathbf{a}_z.

Passo 4

Escrever a direção \mathbf{a}_{\varphi} em componentes cartesianas. A unidade azimutal \mathbf{a}_{\varphi} (no sistema esférico ou cilíndrico) é dada por
\mathbf{a}_{\varphi}=-\sin\varphi\,\mathbf{a}_x+\cos\varphi\,\mathbf{a}_y.
Com \varphi=60^\circ temos \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos60^\circ=\tfrac{1}{2}, então
\mathbf{a}_{\varphi}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,\mathbf{a}_x+\tfrac{1}{2}\,\mathbf{a}_y.

Passo 5

A componente escalar de \mathbf{G} ao longo de \mathbf{a}_{\varphi} é a projeção escalar s=\mathbf{G}\cdot\mathbf{a}_{\varphi}. Faço o produto escalar:
s = G_x(-\sin\varphi)+G_y(\cos\varphi)+G_z\cdot 0
(porque \mathbf{a}_{\varphi} não tem componente em \mathbf{a}_z). Substituindo valores:
s = -14\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} + 8\sqrt{3}\cdot\tfrac{1}{2} = \bigl(-14\sqrt{3}+8\sqrt{3}\bigr)\tfrac{1}{2} = -3\sqrt{3}.

Passo 6

A componente vetorial de \mathbf{G} ao longo de \mathbf{a}_{\varphi} é o escalar s multiplicado pelo vetor unitário \mathbf{a}_{\varphi}:
\mathbf{G}_{\parallel\mathbf{a}_\varphi}=s\,\mathbf{a}_{\varphi}.
Substituindo s=-3\sqrt{3} e \mathbf{a}_{\varphi}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{a}_x+\tfrac{1}{2}\mathbf{a}_y:
\mathbf{G}_{\parallel\mathbf{a}_\varphi} = -3\sqrt{3}\Bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{a}_x+\tfrac{1}{2}\mathbf{a}_y\Bigr).
Calculo as componentes:
-\!3\sqrt{3}\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)=\tfrac{9}{2},\qquad -\!3\sqrt{3}\cdot\tfrac{1}{2}=-\tfrac{3\sqrt{3}}{2}.
Assim, em coordenadas cartesianas:
\mathbf{G}_{\parallel\mathbf{a}_\varphi}=\tfrac{9}{2}\,\mathbf{a}_x-\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\,\mathbf{a}_y.

Resposta

\tfrac{9}{2}\,\mathbf{a}_x-\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\,\mathbf{a}_y

Exercícios relacionados