Dado
, determine a componente vetorial de G ao longo de
no ponto
. Sua resposta deve ser dada em coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial em coordenadas cartesianas e pede a componente vetorial de
ao longo de
no ponto
. Dados que eu peguei do enunciado:
- Campo:
- Ponto:
. Vou interpretar essas coordenadas como coordenadas esféricas , ou seja (ângulo polar desde o eixo ) e (azimute no plano ).
O que se pede: - Calcular a componente vetorial de
ao longo de em e apresentar essa componente em coordenadas cartesianas (ou seja, na base ).
Passo 2
Primeiro passo prático: obter as coordenadas cartesianas de
. As fórmulas de conversão esféricas
cartesianas são
onde
é a distância ao origem,
é o ângulo polar (desde
) e
é o azimute no plano
.
Aplicando
:
Logo
Passo 3
Agora avalio
no ponto
. Substituo
,
,
.
Calculo cada componente:
Portanto em
:
Passo 4
Escrever a direção
em componentes cartesianas. A unidade azimutal
(no sistema esférico ou cilíndrico) é dada por
Com
temos
e
, então
Passo 5
A componente escalar de
ao longo de
é a projeção escalar
. Faço o produto escalar:
(porque
não tem componente em
). Substituindo valores:
Passo 6
A componente vetorial de
ao longo de
é o escalar
multiplicado pelo vetor unitário
:
Substituindo
e
:
Calculo as componentes:
Assim, em coordenadas cartesianas: