Três vetores dirigidos a partir da origem são dados por \mathbf{r}_{1}=7 \mathbf{a}_{x}+3 \mathbf{a}_{y}-2 \mathbf{a}_{z}, \mathbf{r}_{2}=-2 \mathbf{a}_{x}+7 \mathbf{a}_{y}-3 \mathbf{a}_{z} e \mathbf{r}_{3}=2 \mathbf{a}_{x}-2 \mathbf{a}_{y}-3 \mathbf{a}_{z}. Determine:
(b) um vetor unitário perpendicular a \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2} \mathrm{e} \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{3};
Passo 1
O enunciado dá três vetores posicionais (todos a partir da origem):
A pergunta (parte (b)) pede: um vetor unitário perpendicular a \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2 e a \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3.
Informações relevantes fornecidas:
Os três vetores \mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_3 (peguei suas componentes do enunciado).
O objetivo é encontrar um vetor unitário (isto é, de comprimento 1) que seja perpendicular simultaneamente a \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2 e a \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3.
Passo 2
Primeiro calculemos os vetores diferença que aparecem no enunciado (isso é só subtrair componente a componente).
Agora vamos explicar a ideia principal: para obter um vetor perpendicular a dois vetores não paralelos em \mathbb{R}^3, usamos o produto vetorial (cross product). O produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} gera um vetor perpendicular a ambos \mathbf{u} e \mathbf{v}. Em coordenadas, pode-se calcular usando o determinante:
Aqui \mathbf{u}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2=(9,-4,1) e \mathbf{v}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3=(-4,9,0). Vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores.
ou em coordenadas \mathbf{v}_\perp = (-9,\,-4,\,65).
Observação didática rápida: este vetor \mathbf{v}_\perp é automaticamente perpendicular a ambos os vetores porque o produto vetorial tem essa propriedade. Podemos verificar fazendo o produto escalar (dot) com cada um e vendo que dá zero (faremos isso no passo de verificação).
Passo 4
Agora precisamos transformar \mathbf{v}_\perp em um vetor unitário, ou seja, dividir por sua magnitude. Primeiro calculemos a magnitude \|\mathbf{v}_\perp\|.
A magnitude de um vetor (x,y,z) é \sqrt{x^2+y^2+z^2}. Para \mathbf{v}_\perp = (-9,-4,65) temos:
Verificação (importante para a prova): confirme que \widehat{\mathbf{u}} é perpendicular aos dois vetores, verificando produtos escalares (dot products). Usando as coordenadas inteiras antes da normalização (mais simples):
Ambos nulos, logo \mathbf{v}_\perp é perpendicular a ambos; dividir por \|\mathbf{v}_\perp\| preserva a perpendicularidade, só ajusta o comprimento para 1. Tudo conferido.
Nota final: um vetor unitário perpendicular poderia ter também o sinal oposto (a direção contrária), isto é, -\widehat{\mathbf{u}} também é solução válida.