Três vetores dirigidos a partir da origem são dados por \mathbf{r}_{1}=7 \mathbf{a}_{x}+3 \mathbf{a}_{y}-2 \mathbf{a}_{z}, \mathbf{r}_{2}=-2 \mathbf{a}_{x}+7 \mathbf{a}_{y}-3 \mathbf{a}_{z} e \mathbf{r}_{3}=2 \mathbf{a}_{x}-2 \mathbf{a}_{y}-3 \mathbf{a}_{z}. Determine:
(b) um vetor unitário perpendicular a \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2} \mathrm{e} \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{3};

Passo 1

O enunciado dá três vetores posicionais (todos a partir da origem):
\mathbf{r}_1 = 7\mathbf{a}_x + 3\mathbf{a}_y - 2\mathbf{a}_z, \qquad \mathbf{r}_2 = -2\mathbf{a}_x + 7\mathbf{a}_y - 3\mathbf{a}_z, \qquad \mathbf{r}_3 = 2\mathbf{a}_x - 2\mathbf{a}_y - 3\mathbf{a}_z.
A pergunta (parte (b)) pede: um vetor unitário perpendicular a \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2 e a \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os três vetores \mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_3 (peguei suas componentes do enunciado).
  • O objetivo é encontrar um vetor unitário (isto é, de comprimento 1) que seja perpendicular simultaneamente a \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2 e a \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3.

Passo 2

Primeiro calculemos os vetores diferença que aparecem no enunciado (isso é só subtrair componente a componente).
Calculemos \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2:
\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2 = (7-(-2))\mathbf{a}_x + (3-7)\mathbf{a}_y + (-2-(-3))\mathbf{a}_z = 9\mathbf{a}_x -4\mathbf{a}_y +1\mathbf{a}_z.
Portanto, em coordenadas, \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2 = (9,\,-4,\,1).
Calculemos \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3:
\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3 = (-2-2)\mathbf{a}_x + (7-(-2))\mathbf{a}_y + (-3-(-3))\mathbf{a}_z = -4\mathbf{a}_x +9\mathbf{a}_y +0\mathbf{a}_z.
Portanto, \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3 = (-4,\,9,\,0).

Passo 3

Agora vamos explicar a ideia principal: para obter um vetor perpendicular a dois vetores não paralelos em \mathbb{R}^3, usamos o produto vetorial (cross product). O produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} gera um vetor perpendicular a ambos \mathbf{u} e \mathbf{v}. Em coordenadas, pode-se calcular usando o determinante:
\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{a}_x & \mathbf{a}_y & \mathbf{a}_z\\\ u_x & u_y & u_z\\\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}.
Aqui \mathbf{u}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2=(9,-4,1) e \mathbf{v}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3=(-4,9,0). Vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores.
Calculemos cada componente pelo determinante:
\mathbf{v}_\perp =(9,-4,1)\times(-4,9,0) = \begin{vmatrix} \mathbf{a}_x & \mathbf{a}_y & \mathbf{a}_z\\\\ 9 & -4 & 1\\\\ -4 & 9 & 0 \end{vmatrix}.
Expandindo:
  • Componente \mathbf{a}_x: (-4)\cdot 0 - 1\cdot 9 = -9.
  • Componente \mathbf{a}_y: subtrai-se 9\cdot 0 - 1\cdot(-4) = 4, logo com o sinal fica -4.
  • Componente \mathbf{a}_z: 9\cdot 9 - (-4)\cdot(-4) = 81 - 16 = 65.
Portanto
\mathbf{v}_\perp = -9\mathbf{a}_x - 4\mathbf{a}_y + 65\mathbf{a}_z,
ou em coordenadas \mathbf{v}_\perp = (-9,\,-4,\,65).
Observação didática rápida: este vetor \mathbf{v}_\perp é automaticamente perpendicular a ambos os vetores porque o produto vetorial tem essa propriedade. Podemos verificar fazendo o produto escalar (dot) com cada um e vendo que dá zero (faremos isso no passo de verificação).

Passo 4

Agora precisamos transformar \mathbf{v}_\perp em um vetor unitário, ou seja, dividir por sua magnitude. Primeiro calculemos a magnitude \|\mathbf{v}_\perp\|.
A magnitude de um vetor (x,y,z) é \sqrt{x^2+y^2+z^2}. Para \mathbf{v}_\perp = (-9,-4,65) temos:
\|\mathbf{v}_\perp\| = \sqrt{(-9)^2 + (-4)^2 + 65^2} = \sqrt{81 + 16 + 4225} = \sqrt{4322}.
Não há fator quadrado inteiro simples que divida 4322 além de 2, portanto o valor exato conveniente é \sqrt{4322}. Numericamente,
\sqrt{4322}\approx 65,746.
O vetor unitário na direção de \mathbf{v}_\perp é
\widehat{\mathbf{u}} = \frac{\mathbf{v}_\perp}{\|\mathbf{v}_\perp\|} = \frac{-9\mathbf{a}_x -4\mathbf{a}_y +65\mathbf{a}_z}{\sqrt{4322}}.
Se desejar valores aproximados das componentes:
\widehat{\mathbf{u}} \approx -0{,}1369\,\mathbf{a}_x -0{,}0608\,\mathbf{a}_y +0{,}9882\,\mathbf{a}_z.

Passo 5

Verificação (importante para a prova): confirme que \widehat{\mathbf{u}} é perpendicular aos dois vetores, verificando produtos escalares (dot products). Usando as coordenadas inteiras antes da normalização (mais simples):
Dot com \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2=(9,-4,1):
(-9)\cdot 9 + (-4)\cdot(-4) + 65\cdot 1 = -81 +16 +65 = 0.
Dot com \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3=(-4,9,0):
(-9)\cdot(-4) + (-4)\cdot 9 + 65\cdot 0 = 36 -36 +0 = 0.
Ambos nulos, logo \mathbf{v}_\perp é perpendicular a ambos; dividir por \|\mathbf{v}_\perp\| preserva a perpendicularidade, só ajusta o comprimento para 1. Tudo conferido.
Nota final: um vetor unitário perpendicular poderia ter também o sinal oposto (a direção contrária), isto é, -\widehat{\mathbf{u}} também é solução válida.

Resposta

\displaystyle \frac{-9\mathbf{a}_x - 4\mathbf{a}_y + 65\mathbf{a}_z}{\sqrt{4322}}
\displaystyle \frac{9\mathbf{a}_x + 4\mathbf{a}_y - 65\mathbf{a}_z}{\sqrt{4322}}

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