Três vetores dirigidos a partir da origem são dados por \mathbf{r}_{1}=7 \mathbf{a}_{x}+3 \mathbf{a}_{y}-2 \mathbf{a}_{z}, \mathbf{r}_{2}=-2 \mathbf{a}_{x}+7 \mathbf{a}_{y}-3 \mathbf{a}_{z} e \mathbf{r}_{3}=2 \mathbf{a}_{x}-2 \mathbf{a}_{y}-3 \mathbf{a}_{z}. Determine:
(a) um vetor unitário perpendicular a \mathbf{r}_{1} e a \mathbf{r}_{2};

Passo 1

O enunciado dá três vetores com origem na origem e pede, na parte (a), um vetor unitário perpendicular a \mathbf{r}_{1} e a \mathbf{r}_{2}.
Dados fornecidos:
\mathbf{r}_{1}=7\,\mathbf{a}_{x}+3\,\mathbf{a}_{y}-2\,\mathbf{a}_{z}, \qquad \mathbf{r}_{2}=-2\,\mathbf{a}_{x}+7\,\mathbf{a}_{y}-3\,\mathbf{a}_{z}, \qquad \mathbf{r}_{3}=2\,\mathbf{a}_{x}-2\,\mathbf{a}_{y}-3\,\mathbf{a}_{z}.
O que é pedido (apenas a parte (a) aqui):
  • (a) Determinar um vetor unitário perpendicular a \mathbf{r}_{1} e a \mathbf{r}_{2}.

Passo 2

Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática).
  • Quando queremos um vetor que seja perpendicular a dois vetores dados \mathbf{u} e \mathbf{v}, a ferramenta padrão é o produto vetorial (ou produto cruz) \mathbf{u}\times\mathbf{v}.
  • Propriedade fundamental: \mathbf{u}\times\mathbf{v} é um vetor perpendicular tanto a \mathbf{u} quanto a \mathbf{v}. Em termos de produto escalar isso significa
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{u}=0 \qquad\text{e}\qquad (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{v}=0.
  • Definição prática (componentes). Para \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z) e \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) temos
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\big(u_y v_z - u_z v_y\big)\,\mathbf{a}_x +\big(u_z v_x - u_x v_z\big)\,\mathbf{a}_y +\big(u_x v_y - u_y v_x\big)\,\mathbf{a}_z.
  • Depois de obter o vetor perpendicular, devemos normalizá‑lo (dividir pelo seu módulo) para obter um vetor unitário. Se \mathbf{w} é o vetor perpendicular, o vetor unitário é
\hat{\mathbf{w}}=\frac{\mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|},
onde \|\mathbf{w}\|=\sqrt{w_x^2+w_y^2+w_z^2}.

Passo 3

Aplicando o produto vetorial a \mathbf{r}_1 e \mathbf{r}_2. Primeiro escrevo as componentes:
\mathbf{r}_1=(7,\,3,\,-2),\qquad \mathbf{r}_2=(-2,\,7,\,-3).
Usando a fórmula por componentes:
\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2= \big(3\cdot(-3)-(-2)\cdot7\big)\,\mathbf{a}_x +\big((-2)\cdot(-2)-7\cdot(-3)\big)\,\mathbf{a}_y +\big(7\cdot7-3\cdot(-2)\big)\,\mathbf{a}_z.
Agora calculo cada componente explicitamente:
\text{componente }x: \;3\cdot(-3)-(-2)\cdot7=-9+14=5,
\text{componente }y: \;(-2)\cdot(-2)-7\cdot(-3)=4+21=25,
\text{componente }z: \;7\cdot7-3\cdot(-2)=49+6=55.
Portanto
\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2=5\,\mathbf{a}_x+25\,\mathbf{a}_y+55\,\mathbf{a}_z.

Passo 4

Simplificação e fatoração do vetor cruz:
\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2=5\big(1\,\mathbf{a}_x+5\,\mathbf{a}_y+11\,\mathbf{a}_z\big).
Agora calculo o módulo de \mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2:
\|\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2\|=\sqrt{5^{2}+25^{2}+55^{2}} =\sqrt{25+625+3025} =\sqrt{3675}.
Fatorando 3675:
3675=25\cdot147=25\cdot49\cdot3,
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\|\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2\|=\sqrt{25\cdot49\cdot3}=5\cdot7\sqrt{3}=35\sqrt{3}.

Passo 5

Normalização para obter um vetor unitário. Divido o vetor cruz pelo seu módulo:
\hat{\mathbf{n}}=\frac{\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2}{\|\mathbf{r}_1\times\mathbf{r}_2\|} =\frac{5\,(1\,\mathbf{a}_x+5\,\mathbf{a}_y+11\,\mathbf{a}_z)}{35\sqrt{3}}.
Simplificando o fator 5/35=1/7:
\hat{\mathbf{n}}=\frac{1}{7\sqrt{3}}\big(1\,\mathbf{a}_x+5\,\mathbf{a}_y+11\,\mathbf{a}_z\big).
Observação prática: tanto \hat{\mathbf{n}} quanto -\hat{\mathbf{n}} são vetores unitários perpendiculares a \mathbf{r}_1 e \mathbf{r}_2. Aqui escolhi a versão com sinais positivos dos componentes.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{7\sqrt{3}}\,\mathbf{a}_x+\frac{5}{7\sqrt{3}}\,\mathbf{a}_y+\frac{11}{7\sqrt{3}}\,\mathbf{a}_z

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