Três vetores dirigidos a partir da origem são dados por
e
. Determine:
(a) um vetor unitário perpendicular a
e a
;
(a) um vetor unitário perpendicular a
Passo 1
O enunciado dá três vetores com origem na origem e pede, na parte (a), um vetor unitário perpendicular a
e a
.
Dados fornecidos:
O que é pedido (apenas a parte (a) aqui):
- (a) Determinar um vetor unitário perpendicular a
e a .
Passo 2
Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática).
- Quando queremos um vetor que seja perpendicular a dois vetores dados
e , a ferramenta padrão é o produto vetorial (ou produto cruz) . - Propriedade fundamental:
é um vetor perpendicular tanto a quanto a . Em termos de produto escalar isso significa
- Definição prática (componentes). Para
e temos
- Depois de obter o vetor perpendicular, devemos normalizá‑lo (dividir pelo seu módulo) para obter um vetor unitário. Se
é o vetor perpendicular, o vetor unitário é
onde
.
Passo 3
Aplicando o produto vetorial a
e
. Primeiro escrevo as componentes:
Usando a fórmula por componentes:
Agora calculo cada componente explicitamente:
Portanto
Passo 4
Simplificação e fatoração do vetor cruz:
Agora calculo o módulo de
:
Fatorando
:
logo
Passo 5
Normalização para obter um vetor unitário. Divido o vetor cruz pelo seu módulo:
Simplificando o fator
:
Observação prática: tanto
quanto
são vetores unitários perpendiculares a
e
. Aqui escolhi a versão com sinais positivos dos componentes.