Dados \mathbf{P}=2 \mathbf{a}_{x}-\mathbf{a}_{y}-\mathbf{a}_{z}, \mathbf{Q}=4 \mathbf{a}_{x}+3 \mathbf{a}_{y}+2 \mathbf{a}_{z}, \mathbf{C}=-\mathbf{a}_{x}+2 \mathbf{a}_{y}+2 \mathbf{a}_{z}, encontre:
(g) \sin \theta_{P Q}

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados os vetores:
\mathbf{P}=2\mathbf{a}_x-\mathbf{a}_y-\mathbf{a}_z, \qquad \mathbf{Q}=4\mathbf{a}_x+3\mathbf{a}_y+2\mathbf{a}_z, \qquad \mathbf{C}=-\mathbf{a}_x+2\mathbf{a}_y+2\mathbf{a}_z.
  • O que se pede (apenas a parte g): encontrar \sin\theta_{P Q}, onde \theta_{P Q} é o ângulo entre \mathbf{P} e \mathbf{Q}.

Passo 2

Entendendo a relação entre produto escalar e ângulo: para dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} vale a identidade
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\cos\theta,
onde |\mathbf{u}| é o módulo de \mathbf{u}, |\mathbf{v}| é o módulo de \mathbf{v} e \theta é o ângulo entre eles. Isso nos dá \cos\theta=\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}. Como \sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta} para \theta\in[0,\pi] (ângulo entre vetores), podemos obter \sin\theta a partir de \cos\theta.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{P}\cdot\mathbf{Q}. Primeiro escrevemos as componentes em coordenadas:
\mathbf{P}=(2,\,-1,\,-1),\qquad \mathbf{Q}=(4,\,3,\,2).
O produto escalar é dado por soma dos produtos das componentes correspondentes:
\mathbf{P}\cdot\mathbf{Q}=2\cdot4+(-1)\cdot3+(-1)\cdot2.
Agora calculando cada termo:
2\cdot4=8,\qquad (-1)\cdot3=-3,\qquad (-1)\cdot2=-2.
Somando:
\mathbf{P}\cdot\mathbf{Q}=8-3-2=3.

Passo 4

Calcular os módulos |\mathbf{P}| e |\mathbf{Q}|. A fórmula do módulo de um vetor (x,y,z) é
|(x,y,z)|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
Aplicando a \mathbf{P}:
|\mathbf{P}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.
Aplicando a \mathbf{Q}:
|\mathbf{Q}|=\sqrt{4^2+3^2+2^2}=\sqrt{16+9+4}=\sqrt{29}.

Passo 5

Calcular \cos\theta_{P Q} usando a fórmula do Passo 2:
\cos\theta_{P Q}=\frac{\mathbf{P}\cdot\mathbf{Q}}{|\mathbf{P}|\,|\mathbf{Q}|} =\frac{3}{\sqrt{6}\,\sqrt{29}}=\frac{3}{\sqrt{174}}.
Agora calcular \sin\theta_{P Q} por \sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}:
\sin\theta_{P Q}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{\sqrt{174}}\right)^{2}} =\sqrt{1-\frac{9}{174}}=\sqrt{\frac{174-9}{174}}=\sqrt{\frac{165}{174}}.
Simplificando a fração \dfrac{165}{174} dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{165}{174}=\frac{55}{58}.
Portanto
\sin\theta_{P Q}=\sqrt{\frac{55}{58}}.

Resposta

\displaystyle \sin\theta_{P Q}=\sqrt{\frac{55}{58}}

Exercícios relacionados