Um dado e uma moeda são lançados simultaneamente, formando um resultado (a,b), onde é a é o resultado da moeda e b do dado.
(a) (1 pt) Descreva o espaço amostral desse experimento.
(b) ( 1 pt) Em dois lançamentos, calcule a probabilidade de se obter (cara, 5) no primeiro e o resultado do dado ser par no segundo.
(a) (1 pt) Descreva o espaço amostral desse experimento.
(b) ( 1 pt) Em dois lançamentos, calcule a probabilidade de se obter (cara, 5) no primeiro e o resultado do dado ser par no segundo.
Passo 1
O enunciado diz que num único experimento são lançados simultaneamente um dado e uma moeda, formando um resultado
, onde
é o resultado da moeda e
é o resultado do dado. As perguntas são:
- (a) Descrever o espaço amostral desse experimento (um único lançamento).
- (b) Em dois lançamentos independentes desse experimento, calcular a probabilidade de obter
no primeiro lançamento e que o resultado do dado seja par no segundo lançamento.
Informações relevantes dadas ou assumidas (explicitar porque vamos usá-las):
- O resultado de cada lançamento é um par
. - Não foi indicada nenhuma irregularidade, então vamos assumir moeda honesta (dois lados igualmente prováveis) e dado honesto (faces
a igualmente prováveis). - Os dois lançamentos são independentes entre si.
Passo 2
O que é o espaço amostral de um experimento? Uma explicação curta e didática: o espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Como aqui cada resultado é um par
com
sendo o resultado da moeda e
a face do dado, o espaço amostral é o produto cartesiano dos resultados da moeda com os resultados do dado.
Listando explicitamente: a moeda tem duas faces,
e
. O dado tem seis faces
. Logo o espaço amostral do único lançamento é
Passo 3
Agora vamos construir o modelo de probabilidade para cada elemento de
. Se a moeda e o dado são justos e independentes, a probabilidade de ocorrer um par específico
é o produto das probabilidades individuais:
-
porque a moeda tem duas faces igualmente prováveis. -
para porque o dado tem seis faces igualmente prováveis.
Pelo princípio da multiplicação para eventos independentes, a probabilidade de um par específico
é
Assim cada um dos
resultados em
tem probabilidade
.
Passo 4
Resolver a parte (a) (resposta direta, já construída no passo 2):
- O espaço amostral de um único lançamento é o conjunto
listado no passo 2.
Passo 5
Resolver a parte (b): primeiro identificar os eventos envolvidos e calcular suas probabilidades separadamente.
Definir eventos:
-
= "no primeiro lançamento obtém-se ". -
= “no segundo lançamento o resultado do dado é par” (isto é, a face do dado no segundo é um dos ; o resultado da moeda no segundo lançamento é irrelevante para ).
Passo 6
Calcular
. Há duas maneiras equivalentes de ver isso — explico as duas para fixar o raciocínio.
Método multiplicativo:
Método por contagem:
No primeiro lançamento há resultados possíveis (vide
). Apenas um deles é exatamente
. Então
No primeiro lançamento há
Ambas concordam:
.
Passo 7
Calcular
para o segundo lançamento. Explicando passo a passo: no segundo lançamento o dado pode mostrar
ou
para ser par — são
faces favoráveis de
. A moeda do segundo lançamento pode ser qualquer uma (2 possibilidades), mas como
só se refere ao dado, não importa o resultado da moeda. Então, por raciocínio de probabilidades ou por contagem:
- Probabilidade de dado par no segundo lançamento:
.
Ou, contando no espaço deresultados possíveis no segundo lançamento, há opções para a moeda × opções de face par = resultados favoráveis entre , o que dá .
Logo
Passo 8
Usar independência entre os lançamentos: o primeiro e o segundo lançamento são experimentos independentes, então os eventos
e
são independentes. Portanto a probabilidade de ocorrer
no primeiro e
no segundo é o produto das probabilidades:
Passo 9
Apresento uma verificação alternativa por contagem total de resultados dos dois lançamentos (confirmação): cada lançamento tem
resultados possíveis, então os dois lançamentos têm
resultados equiprováveis. Para a condição pedida:
- No primeiro lançamento precisa ser exatamente
: escolha. - No segundo lançamento o dado deve ser par e a moeda pode ser qualquer uma:
escolhas.
Número total de resultados favoráveis. Assim a probabilidade é , igual ao que obtivemos antes.