Um dado e uma moeda são lançados simultaneamente, formando um resultado (a,b), onde é a é o resultado da moeda e b do dado.
(a) (1 pt) Descreva o espaço amostral desse experimento.
(b) ( 1 pt) Em dois lançamentos, calcule a probabilidade de se obter (cara, 5) no primeiro e o resultado do dado ser par no segundo.

Passo 1

O enunciado diz que num único experimento são lançados simultaneamente um dado e uma moeda, formando um resultado (a,b), onde a é o resultado da moeda e b é o resultado do dado. As perguntas são:
  • (a) Descrever o espaço amostral desse experimento (um único lançamento).
  • (b) Em dois lançamentos independentes desse experimento, calcular a probabilidade de obter (\text{cara},5) no primeiro lançamento e que o resultado do dado seja par no segundo lançamento.
Informações relevantes dadas ou assumidas (explicitar porque vamos usá-las):
  • O resultado de cada lançamento é um par (a,b).
  • Não foi indicada nenhuma irregularidade, então vamos assumir moeda honesta (dois lados igualmente prováveis) e dado honesto (faces 1 a 6 igualmente prováveis).
  • Os dois lançamentos são independentes entre si.

Passo 2

O que é o espaço amostral de um experimento? Uma explicação curta e didática: o espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Como aqui cada resultado é um par (a,b) com a sendo o resultado da moeda e b a face do dado, o espaço amostral é o produto cartesiano dos resultados da moeda com os resultados do dado.
Listando explicitamente: a moeda tem duas faces, \text{cara} e \text{coroa}. O dado tem seis faces 1,2,3,4,5,6. Logo o espaço amostral do único lançamento é
S=\{(\text{cara},1),(\text{cara},2),(\text{cara},3),(\text{cara},4),(\text{cara},5),(\text{cara},6), (\text{coroa},1),(\text{coroa},2),(\text{coroa},3),(\text{coroa},4),(\text{coroa},5),(\text{coroa},6)\}.

Passo 3

Agora vamos construir o modelo de probabilidade para cada elemento de S. Se a moeda e o dado são justos e independentes, a probabilidade de ocorrer um par específico (\text{cara},k) é o produto das probabilidades individuais:
  • P(\text{cara})=\tfrac{1}{2} porque a moeda tem duas faces igualmente prováveis.
  • P(\text{face }k)=\tfrac{1}{6} para k\in\{1,2,3,4,5,6\} porque o dado tem seis faces igualmente prováveis.
Pelo princípio da multiplicação para eventos independentes, a probabilidade de um par específico (\text{cara},k) é
P((\text{cara},k))=P(\text{cara})\cdot P(\text{face }k)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{12}.
Assim cada um dos 12 resultados em S tem probabilidade \tfrac{1}{12}.

Passo 4

Resolver a parte (a) (resposta direta, já construída no passo 2):
  • O espaço amostral de um único lançamento é o conjunto S listado no passo 2.

Passo 5

Resolver a parte (b): primeiro identificar os eventos envolvidos e calcular suas probabilidades separadamente.
Definir eventos:
  • A = "no primeiro lançamento obtém-se (\text{cara},5)".
  • B = “no segundo lançamento o resultado do dado é par” (isto é, a face do dado no segundo é um dos \{2,4,6\}; o resultado da moeda no segundo lançamento é irrelevante para B).

Passo 6

Calcular P(A). Há duas maneiras equivalentes de ver isso — explico as duas para fixar o raciocínio.
Método multiplicativo:
P(A)=P(\text{cara no primeiro})\cdot P(\text{face }5\text{ no primeiro})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{12}.
Método por contagem:
No primeiro lançamento há 12 resultados possíveis (vide S). Apenas um deles é exatamente (\text{cara},5). Então
P(A)=\frac{1}{12}.
Ambas concordam: P(A)=\tfrac{1}{12}.

Passo 7

Calcular P(B) para o segundo lançamento. Explicando passo a passo: no segundo lançamento o dado pode mostrar 2,4 ou 6 para ser par — são 3 faces favoráveis de 6. A moeda do segundo lançamento pode ser qualquer uma (2 possibilidades), mas como B só se refere ao dado, não importa o resultado da moeda. Então, por raciocínio de probabilidades ou por contagem:
  • Probabilidade de dado par no segundo lançamento: \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.
    Ou, contando no espaço de 12 resultados possíveis no segundo lançamento, há 2 opções para a moeda × 3 opções de face par = 6 resultados favoráveis entre 12, o que dá 6/12=1/2.
    Logo
P(B)=\frac{1}{2}.

Passo 8

Usar independência entre os lançamentos: o primeiro e o segundo lançamento são experimentos independentes, então os eventos A e B são independentes. Portanto a probabilidade de ocorrer A no primeiro e B no segundo é o produto das probabilidades:
P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{24}.

Passo 9

Apresento uma verificação alternativa por contagem total de resultados dos dois lançamentos (confirmação): cada lançamento tem 12 resultados possíveis, então os dois lançamentos têm 12^2=144 resultados equiprováveis. Para a condição pedida:
  • No primeiro lançamento precisa ser exatamente (\text{cara},5): 1 escolha.
  • No segundo lançamento o dado deve ser par e a moeda pode ser qualquer uma: 2\times3=6 escolhas.
    Número total de resultados favoráveis =1\cdot6=6. Assim a probabilidade é 6/144=1/24, igual ao que obtivemos antes.

Resposta

S=\{(\text{cara},1),(\text{cara},2),(\text{cara},3),(\text{cara},4),(\text{cara},5),(\text{cara},6),(\text{coroa},1),(\text{coroa},2),(\text{coroa},3),(\text{coroa},4),(\text{coroa},5),(\text{coroa},6)\}\n
\dfrac{1}{24}

Exercícios relacionados