(Questão extra:) Há 7 carros estacionados em 10 vagas enfileiradas. Qual é a probabilidade de
(a) (1 pt) as vagas vazias serem consecutivas?
(b) (1 pt) não haver vagas vazias consecutivas?

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • 10 vagas enfileiradas.
  • 7 carros estacionados, portanto há 3 vagas vazias.
  • Pergunta (a): qual a probabilidade de as 3 vagas vazias serem consecutivas?
  • Pergunta (b): qual a probabilidade de não haver vagas vazias consecutivas (isto é, nenhuma das 3 vazias estar ao lado de outra)?

Passo 2

Primeiro precisamos contar o espaço amostral (todas as configurações igualmente possíveis). Cada configuração de carros/vagas é determinada por quais 3 vagas estão vazias entre as 10. Então o número total de configurações possíveis é o número de maneiras de escolher 3 vagas vazias entre 10, isto é
\binom{10}{3}.
Lembrando a definição de combinação:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
portanto
\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120.
Logo o espaço amostral tem 120 casos equiprováveis. A probabilidade pedida sempre será
\text{probabilidade}=\frac{\text{número de casos favoráveis}}{120}.úá

Passo 3

Agora (a): contar os casos em que as 3 vagas vazias são consecutivas.
Pense num bloco contínuo de 3 vagas vazias. Esse bloco pode começar na vaga 1, ou na 2, …, até começar na 8, porque o início não pode ultrapassar a vaga 8 para caber as três consecutivas. Portanto há 8 posições possíveis para o bloco de 3 vazias. Para cada uma destas posições, as demais 7 vagas ficam ocupadas pelos carros de forma forçada. Assim o número de casos favoráveis é 8.
A probabilidade pedida em (a) é
\frac{8}{120}=\frac{1}{15}.

Passo 4

Breve comentário didático sobre (a): outro modo de ver é “colar” as 3 vagas vazias formando um único bloco e contar quantas posições esse bloco ocupa na fileira de 10. Como esse bloco tem comprimento 3, o número de inícios possíveis é 10-3+1=8, que é exatamente o que usamos acima.

Passo 5

Agora (b): contar os casos em que não há vagas vazias consecutivas — isto é, as 3 vazias estão todas separadas por pelo menos uma vaga ocupada.
Uma forma didática e clássica de contar isso é usar os “gaps” (lacunas) criadas pelas 7 vagas ocupadas. Coloque primeiro as 7 vagas ocupadas (os 7 carros); entre e nas extremidades desses 7 carros existem 8 lacunas possíveis onde podemos colocar vagas vazias sem que duas fiquem juntas. Esquematicamente, se “C” representa uma vaga com carro, as lacunas são:
\_ \, C \, \_ \, C \, \_ \, C \, \_ \, C \, \_ \, C \, \_ \, C \, \_ \, C \, \_
(contando 8 sublinhados). Para garantir que vazias não fiquem adjacentes, cada vaga vazia deve ocupar uma lacuna distinta. Assim precisamos escolher 3 lacunas distintas entre essas 8.
O número de maneiras de escolher 3 lacunas entre 8 é
\binom{8}{3}.
Calculando,
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56.
Portanto há 56 configurações em que nenhuma vaga vazia é consecutiva.

Passo 6

Agora a probabilidade pedida em (b) é
\frac{56}{120}.
Vamos simplificar a fração: dividindo numerador e denominador por 8,
\frac{56}{120}=\frac{7}{15}.

Passo 7

Checagem rápida de consistência (apenas para segurança): as probabilidades encontradas são \dfrac{1}{15} e \dfrac{7}{15}. Faz sentido que não somem 1, porque existem outras disposições em que há algumas vazias adjacentes mas não todas três juntas; logo os casos restantes completam o total 1. Tudo está consistente com as contagens.

Resposta

(a) \dfrac{1}{15}
(b) \dfrac{7}{15}

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