(Questão extra:) Há 7 carros estacionados em 10 vagas enfileiradas. Qual é a probabilidade de
(a) (1 pt) as vagas vazias serem consecutivas?
(b) (1 pt) não haver vagas vazias consecutivas?
(a) (1 pt) as vagas vazias serem consecutivas?
(b) (1 pt) não haver vagas vazias consecutivas?
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- Há
vagas enfileiradas. - Há
carros estacionados, portanto há vagas vazias. - Pergunta (a): qual a probabilidade de as
vagas vazias serem consecutivas? - Pergunta (b): qual a probabilidade de não haver vagas vazias consecutivas (isto é, nenhuma das
vazias estar ao lado de outra)?
Passo 2
Primeiro precisamos contar o espaço amostral (todas as configurações igualmente possíveis). Cada configuração de carros/vagas é determinada por quais
vagas estão vazias entre as
. Então o número total de configurações possíveis é o número de maneiras de escolher
vagas vazias entre
, isto é
Lembrando a definição de combinação:
portanto
Logo o espaço amostral tem
casos equiprováveis. A probabilidade pedida sempre será
Passo 3
Agora (a): contar os casos em que as
vagas vazias são consecutivas.
Pense num bloco contínuo de
vagas vazias. Esse bloco pode começar na vaga
, ou na
, …, até começar na
, porque o início não pode ultrapassar a vaga
para caber as três consecutivas. Portanto há
posições possíveis para o bloco de
vazias. Para cada uma destas posições, as demais
vagas ficam ocupadas pelos carros de forma forçada. Assim o número de casos favoráveis é
.
A probabilidade pedida em (a) é
Passo 4
Breve comentário didático sobre (a): outro modo de ver é “colar” as
vagas vazias formando um único bloco e contar quantas posições esse bloco ocupa na fileira de
. Como esse bloco tem comprimento
, o número de inícios possíveis é
, que é exatamente o que usamos acima.
Passo 5
Agora (b): contar os casos em que não há vagas vazias consecutivas — isto é, as
vazias estão todas separadas por pelo menos uma vaga ocupada.
Uma forma didática e clássica de contar isso é usar os “gaps” (lacunas) criadas pelas
vagas ocupadas. Coloque primeiro as
vagas ocupadas (os
carros); entre e nas extremidades desses
carros existem
lacunas possíveis onde podemos colocar vagas vazias sem que duas fiquem juntas. Esquematicamente, se “C” representa uma vaga com carro, as lacunas são:
(contando
sublinhados). Para garantir que vazias não fiquem adjacentes, cada vaga vazia deve ocupar uma lacuna distinta. Assim precisamos escolher
lacunas distintas entre essas
.
O número de maneiras de escolher
lacunas entre
é
Calculando,
Portanto há
configurações em que nenhuma vaga vazia é consecutiva.
Passo 6
Agora a probabilidade pedida em (b) é
Vamos simplificar a fração: dividindo numerador e denominador por
,
Passo 7
Checagem rápida de consistência (apenas para segurança): as probabilidades encontradas são
e
. Faz sentido que não somem
, porque existem outras disposições em que há algumas vazias adjacentes mas não todas três juntas; logo os casos restantes completam o total
. Tudo está consistente com as contagens.
Resposta
(a)
(b)
(b)