5- Suponha que um exame de sangue é
efetivo em detectar uma certa doença quando esta está presente. No entanto,
são falso-positivos. Suponha que
dapopulação tem a doença. Qual a probabilidade condicional de que um indivíduo testado aleatoriamente tenha a doença dado que o teste deu positivo?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade condicional de que um indivíduo tenha a doença dado que o teste deu positivo. Informação fornecida:
- Sensibilidade (probabilidade do teste dar positivo quando a doença está presente):
. - Taxa de falso-positivo (probabilidade do teste dar positivo quando a doença não está presente):
. - Prevalência (fração da população que tem a doença):
.
O que se quer calcular é.
Passo 2
Apresentar a fórmula que vamos usar (Teorema de Bayes) e explicar cada termo:
Explicação das partes:
-
: probabilidade de ter a doença sabendo que o teste foi positivo (o que queremos). -
: probabilidade do teste ser positivo se a pessoa tem a doença (sensibilidade). -
: probabilidade prévia de ter a doença (prevalência). -
: probabilidade do teste ser positivo se a pessoa não tem a doença (falso-positivo). -
: probabilidade de não ter a doença, que é .
Passo 3
Substituir os números na fórmula e calcular passo a passo:
Calcule :
Calcule
Calcule o numerador:
Calcule o termo de falso-positivos:
Calcule o denominador (soma das contribuições de positivos vindos de doentes e de não-doentes):
Finalmente a probabilidade pedida:
Em porcentagem:
Passo 4
Verificação intuitiva usando frequências (truque útil em prova): suponha
pessoas testadas.
- Pessoas com a doença:
. - Verdadeiros positivos:
. - Pessoas sem a doença:
. - Falsos positivos:
. - Total de positivos:
.
Probabilidade de um positivo ser realmente doente:
mesmo resultado numérico, que é mais fácil de interpretar na hora da prova.
Passo 5
Interpretação e dica prática:
- Mesmo com um teste muito sensível (
) e relativamente poucos falsos-positivos ( ), quando a prevalência é baixa ( ) a probabilidade de realmente ter a doença dado um teste positivo fica em torno de . Ou seja, a maioria dos positivos será falso-positivo nesse cenário. - Dica para prova: quando houver percentuais pequenos, usar frequências (por exemplo, base
ou ) evita erros e facilita o cálculo mental.