5- Suponha que um exame de sangue é 99 \% efetivo em detectar uma certa doença quando esta está presente. No entanto, 2 \% são falso-positivos. Suponha que 0,5 \% dapopulação tem a doença. Qual a probabilidade condicional de que um indivíduo testado aleatoriamente tenha a doença dado que o teste deu positivo?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade condicional de que um indivíduo tenha a doença dado que o teste deu positivo. Informação fornecida:
  • Sensibilidade (probabilidade do teste dar positivo quando a doença está presente): P(+\mid D)=99\%=0,99.
  • Taxa de falso-positivo (probabilidade do teste dar positivo quando a doença não está presente): P(+\mid D^{c})=2\%=0,02.
  • Prevalência (fração da população que tem a doença): P(D)=0,5\%=0,005.
    O que se quer calcular é P(D\mid +).

Passo 2

Apresentar a fórmula que vamos usar (Teorema de Bayes) e explicar cada termo:
P(D\mid +)=\frac{P(+\mid D)\,P(D)}{P(+\mid D)\,P(D)+P(+\mid D^{c})\,P(D^{c})}.
Explicação das partes:
  • P(D\mid +): probabilidade de ter a doença sabendo que o teste foi positivo (o que queremos).
  • P(+\mid D): probabilidade do teste ser positivo se a pessoa tem a doença (sensibilidade).
  • P(D): probabilidade prévia de ter a doença (prevalência).
  • P(+\mid D^{c}): probabilidade do teste ser positivo se a pessoa não tem a doença (falso-positivo).
  • P(D^{c}): probabilidade de não ter a doença, que é 1-P(D).

Passo 3

Substituir os números na fórmula e calcular passo a passo:
Calcule P(D^{c}):
P(D^{c})=1-P(D)=1-0,005=0,995.
Calcule o numerador:
P(+\mid D)\,P(D)=0,99\cdot0,005=0,00495.
Calcule o termo de falso-positivos:
P(+\mid D^{c})\,P(D^{c})=0,02\cdot0,995=0,0199.
Calcule o denominador (soma das contribuições de positivos vindos de doentes e de não-doentes):
0,00495+0,0199=0,02485.
Finalmente a probabilidade pedida:
P(D\mid +)=\frac{0,00495}{0,02485}=\frac{99}{497}\approx0,199196\ldots
Em porcentagem:
P(D\mid +)\approx19{,}92\%.

Passo 4

Verificação intuitiva usando frequências (truque útil em prova): suponha 10000 pessoas testadas.
  • Pessoas com a doença: 10000\cdot0,005=50.
  • Verdadeiros positivos: 50\cdot0,99=49{,}5.
  • Pessoas sem a doença: 10000-50=9950.
  • Falsos positivos: 9950\cdot0,02=199.
  • Total de positivos: 49{,}5+199=248{,}5.
    Probabilidade de um positivo ser realmente doente:
\frac{49{,}5}{248{,}5}\approx0,1992=19{,}92\%,
mesmo resultado numérico, que é mais fácil de interpretar na hora da prova.

Passo 5

Interpretação e dica prática:
  • Mesmo com um teste muito sensível ( 99\%) e relativamente poucos falsos-positivos ( 2\%), quando a prevalência é baixa ( 0,5\%) a probabilidade de realmente ter a doença dado um teste positivo fica em torno de 20\%. Ou seja, a maioria dos positivos será falso-positivo nesse cenário.
  • Dica para prova: quando houver percentuais pequenos, usar frequências (por exemplo, base 1000 ou 10000) evita erros e facilita o cálculo mental.

Resposta

19{,}92\%

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