t y^{\prime \prime}(t)+(1-t) y^{\prime}(t)+n y(t)=0
é chamada de equação de Laguerre e seu estudo está relacionado ao comportamento de um elétron em um campo esfericamente simétrico. Denote por Y(s)=\mathcal{L}(y)(s) e considere a função g(t)=t^{n} \mathrm{e}^{-t}.
a) Separe o quociente F(s)=(n+1-s) /\left(s^{2}-s\right) em frações parciais.
Resposta: F(s)=n /(s-1)-(n+1) / s.
b) Use a transformada de Laplace para provar que \left(s-s^{2}\right) Y^{\prime}(s)+(n+1-s) Y(s)=0.
Resposta: \left(s-s^{2}\right) Y^{\prime}(s)+(n+1-s) Y(s)=0.
c) Resolva a equação do item b) para encontrar Y(s).
Resposta: Y(s)=(s-1)^{n} / s^{n+1}.
d) Sabendo que g(0)=g^{\prime}(0)=\cdots=g^{(n)}(0)=0, calcule G(s)=\mathcal{L}\left(g^{(n)}(t)\right)(s). Use isso para concluir que y(t)=\mathrm{e}^{t} g^{(n)}(t) / n!.
Resposta: G(s)=s^{n} \mathcal{L}(g(t))(s)=s^{n}(-1)^{n} \frac{d^{n}}{d s^{n}}\left(\mathcal{L}\left(\mathrm{e}^{-t}\right)(s)\right)=s^{n} n!/(s+1)^{n+1}. Logo, Y(s)=G(s-\overline{1) / n!=\mathcal{L}\left(\mathrm{e}^{t} g^{(n)}(t) / n!\right)(s) \text {. }}
e) Para n=0,1,2, calcule a solução de (1) e note que ela é um polinômio de grau n.
com n\in\mathbb{N}. Define-se Y(s)=\mathcal{L}(y)(s) e g(t)=t^{n}\mathrm{e}^{-t}. As perguntas são:
a) Fazer a decomposição em frações parciais de
F(s)=\frac{n+1-s}{s^{2}-s}.
b) Aplicar a transformada de Laplace à equação dada e obter a equação para Y(s):
\left(s-s^{2}\right)Y'(s)+(n+1-s)Y(s)=0.
c) Resolver essa equação diferencial em s para achar Y(s).
d) Sabendo que g(0)=g'(0)=\cdots=g^{(n)}(0)=0, calcular G(s)=\mathcal{L}\big(g^{(n)}(t)\big)(s) e usar isso para concluir que
y(t)=\frac{\mathrm{e}^{t} g^{(n)}(t)}{n!}.
e) Para n=0,1,2, calcular explicitamente a solução y(t) e observar que é um polinômio de grau n.
Informações relevantes fornecidas: a forma da equação diferencial, a definição de Y(s) e g(t), a condição sobre as derivadas iniciais de g e as respostas esperadas (fornecidas no enunciado).
Passo 2
(a) Decomposição em frações parciais de [F(s)=\dfrac{n+1-s}{s^{2}-s}).
Primeiro escrevemos o denominador fatorado:
s^{2}-s=s(s-1).
Queremos escrever
\frac{n+1-s}{s(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-1},
onde A e B são constantes a determinar. Multiplicando por s(s-1) obtemos a identidade
n+1-s = A(s-1)+B s.
Expandindo:
n+1-s = (A+B)s - A.
Igualando coeficientes do polinômio (coeficiente de s e termo constante) temos o sistema
\begin{cases} A+B = -1,\\[4pt] - A = n+1. \end{cases}
Da segunda equação (A=- (n+1)]. Substituindo na primeira: -(n+1) + B = -1 \quad\Rightarrow\quad B = n.
Portanto \frac{n+1-s}{s^{2}-s} = \frac{- (n+1)}{s} + \frac{n}{s-1} = \frac{n}{s-1}-\frac{n+1}{s},
que é exatamente a decomposição pedida.
(Observação didática sobre frações parciais: o objetivo é reduzir uma função racional em soma de termos simples \dfrac{C}{s-a} para facilitar integração ou inversão de Laplace; aqui foi direto porque o denominador já é produto de dois fatores lineares distintos.)]
Passo 3
(b) Aplicar a transformada de Laplace à equação
t\,y''(t)+(1-t)\,y'(t)+n\,y(t)=0.
Vou usar propriedades básicas da transformada de Laplace:
\mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s).
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0).
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0).
Para multiplicação por t: \mathcal{L}\{t f(t)\}(s) = -\dfrac{d}{ds}\big(\mathcal{L}\{f\}(s)\big). Em notação compacta, \mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s) se F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s).
que é exatamente a equação pedida. Observação: as condições iniciais y(0),y'(0) desapareceram do resultado final — uma consequência das cancelações mostradas acima.
Passo 4
(c) Resolver a equação em s
(s-s^{2})Y'(s)+(n+1-s)Y(s)=0.
Escrevemos na forma padrão de equação linear de primeira ordem:
Para determinar C: lembre que, para uma função y(t) de ordem exponencial, \lim_{s\to\infty} sY(s)=y(0) (propriedade da transformada). Fazendo a expansão assintótica da solução:
Logo \lim_{s\to\infty}sY(s)=C=y(0). Se normalizarmos a solução com y(0)=1 (convenção usual para os polinômios de Laguerre), obtemos C=1. Assim a solução (na normalização padrão) é
Y(s)=\frac{(s-1)^{n}}{s^{\,n+1}}.
Passo 5
(d) Calcular G(s)=\mathcal{L}\big(g^{(n)}(t)\big)(s) com g(t)=t^{n}\mathrm{e}^{-t} e usar para concluir que y(t)=\dfrac{\mathrm{e}^{t} g^{(n)}(t)}{n!}.
Primeiro, note a propriedade da transformada para derivadas: se h(0)=h'(0)=\cdots=h^{(n-1)}(0)=0 então
No enunciado está dado que g(0)=g'(0)=\cdots=g^{(n)}(0)=0, em particular os menores derivados até ordem n-1 são zero, então podemos usar a propriedade acima para h=g:
Agora calculamos \mathcal{L}\{g\}(s)=\mathcal{L}\{t^{n}\mathrm{e}^{-t}\}(s). Usamos a fórmula padrão \mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{n+1}} e a propriedade de translação: \mathcal{L}\{ \mathrm{e}^{a t} f(t)\}(s)=F(s-a). Aqui a=-1, então
Agora uso a propriedade de deslocamento para exponentes na transformada: se H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}(s) então \mathcal{L}\{\mathrm{e}^{t}h(t)\}(s)=H(s-1). Tomando h(t)=g^{(n)}(t) temos \mathcal{L}\{\mathrm{e}^{t}g^{(n)}(t)\}(s)=G(s-1). Calculando
G(s-1)=\frac{n!(s-1)^{n}}{s^{n+1}}.
Dividindo por n! obtemos
\frac{G(s-1)}{n!} = \frac{(s-1)^{n}}{s^{n+1}}.
Mas do item (c) vimos que Y(s)=\dfrac{(s-1)^{n}}{s^{n+1}}. Assim
Pela unicidade da transformada de Laplace, isso implica
y(t)=\frac{\mathrm{e}^{t}g^{(n)}(t)}{n!},
como queríamos mostrar.
(Comentário didático: a ideia é escrever Y(s) obtido na solução como uma transformada conhecida de alguma função explícita. O deslocamento de s e a multiplicação por potências de s são as ferramentas que ligam Y(s) a transformadas de derivadas e exponenciais.)
Passo 6
(e) Calcular as soluções para n=0,1,2 explicitamente usando a fórmula
(ao derivar produto uso regra: derivative of polynomial times e^{-t} plus polynomial times derivative of e^{-t} que é -\mathrm{e}^{-t}). Simplificando: