Encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando
aumenta.
Passo 1
O problema pede três coisas: encontrar a solução da EDO de segunda ordem com condição inicial, esboçar o gráfico dessa solução e descrever o comportamento quando
aumenta. As informações dadas são:
com condições iniciais em
:
onde
é uma constante (parâmetro). Não há mais dados numéricos; o valor de
permanece simbólico.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática). Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma
uma técnica padrão é procurar soluções do tipo
, porque a exponencial transforma derivadas em multiplicações por
. Substituindo
na EDO, obtemos a equação característica em
, que é um polinômio (aqui quadrática). As raízes reais distintas da característica geram duas soluções independentes
e
, e a solução geral é uma combinação linear:
com constantes
determinadas pelas condições iniciais. Isso funciona porque para EDO linear homogênea de segunda ordem as soluções formam um espaço vetorial de dimensão 2; duas soluções independentes geram todas as soluções por combinação linear.
Passo 3
Formação da equação característica e solução das raízes. Substituindo
em
dá
Resolvemos essa quadrática. O discriminante é
As raízes são
Logo
Passo 4
Escrevendo a solução geral e sua derivada. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
onde
são constantes. Derivando (para usar a condição sobre
):
Aqui explique rapidinho: a derivada de
é
, e a derivada de
é
pelo efeito da regra da cadeia.
Passo 5
Aplicando as condições iniciais em
. Substituímos
nas fórmulas de
e
:
Temos um sistema linear em
e
. Para resolver, subtraímos a segunda equação da primeira:
O lado esquerdo simplifica para
. Então
Isolando
,
Agora voltamos à primeira equação
. Note que
. Portanto
Logo
Passo 6
Escrevendo a solução
de forma simplificada. Substituindo
e
em
obtemos
Podemos reorganizar os expoentes para uma forma mais interpretável:
Essa forma é boa porque em
ambos os termos valem os fatores sem exponenciais multiplicando 1, confirmando
.
Passo 7
Interpretação do gráfico e comportamento quando
aumenta (a parte que a prova costuma pedir). Observe os dois termos:
- O segundo termo tem expoente
. Para esse expoente é negativo e grande em magnitude, então decai extremamente rápido quando cresce. Esse termo é um “transiente” rápido que desaparece para grandes. - O primeiro termo é proporcional a
, que cresce exponencialmente quando aumenta. Assim, para o comportamento assintótico é dominado pelo primeiro termo.
Dependendo do sinal do coeficiente
obtemos três casos essenciais:
- Se
(ou seja, ), então o coeficiente do termo dominante é positivo e
O gráfico mostra uma contribuição inicial pequena do termo decaente e, depois de curto tempo, uma explosão exponencial positiva.
- Se
(ou seja, ), o termo dominante some e a solução fica somente com o termo decaente:
Nesse caso
é positiva e decai rapidamente para
quando
.
- Se
(ou seja, ), o coeficiente do termo dominante é negativo e
O gráfico, após um curto transiente, seguirá uma queda exponencial em módulo, tendendo a
.
Esboço mental do gráfico: em
temos
. Logo após
há uma contribuição rápida do termo
(se
) que muda a curvatura perto de
, mas para
moderadamente maiores esse termo já é desprezível e o comportamento é o da exponencial
multiplicada por
(crescimento ou decaimento para
dependendo do sinal). Incentivo: pense no segundo termo como “sinal de fumaça” que some rápido; o primeiro termo é o motor que governa a solução a longo prazo.
Resposta
Para
:
(crescimento exponencial dominado por
).
Para :
(decai rapidamente para
).
Para :
(decresce exponencialmente em módulo, tendendo a
).
Para
Para