Sempre que as transformadas de Laplace estiverem bem definidas, e a menos de sinal, vale a propriedade de que derivar na variável
corresponde a multiplicar na variável
. De fato, vale que
. Essa propriedade pode ser usada para estudar o PVI
correspondente ao comportamento de um sistema massa-mola sujeito a uma força externa
, onde
. Observe que
é também a freqüência natural de oscilação do sistema, e portanto o problema é ressonante.
a) Use derivação sob o sinal de integral para demonstrar que
.
Resposta:
.
b) Calcule a transformada
.
Resposta:
c) Expresse
como uma combinação linear entre as funções
e
, onde
e
.
Resposta:
d) Use os itens anteriores para obter a solução
.
Resposta:
e) Descreva o comportamento da solução
para valores grandes da variável
.
Resposta: oscila entre
e
a) Use derivação sob o sinal de integral para demonstrar que
b) Calcule a transformada
c) Expresse
Resposta:
d) Use os itens anteriores para obter a solução
e) Descreva o comportamento da solução
Passo 1
O enunciado dá o problema inicial
onde
. As perguntas são:
- (a) Demonstrar a propriedade
usando diferenciação sob o sinal de integral. - (b) Calcular
. - (c) Escrever
como combinação linear de , onde e . - (d) Obter a solução
(inverso da transformada). - (e) Descrever o comportamento de
para grande.
Informações relevantes fornecidas:
- Definição da transformada de Laplace
. - Condição inicial
. - Relação entre
e : . - Observação: as transformadas envolvidas são bem definidas (podemos trocar derivada e integral quando justificar).
Passo 2
Demonstração da propriedade
.
Começo lembrando a definição da transformada: para
tal que a integral converge,
Queremos derivar essa integral em relação a
. O integrando é
. A derivada parcial em relação a
é
Para trocar derivada e integral usamos um resultado padrão (diferenciação sob o sinal de integral): se para o
em questão a integral de
converge e existe uma função integrável dominante (por exemplo
integrável para algum
), então podemos aplicar a troca. O enunciado já nos diz que as transformadas estão bem definidas, então essas hipóteses são satisfeitas aqui. Assim
Mas a última integral é exatamente
. Portanto
como pedido.
Passo 3
Calcular
aplicando a transformada de Laplace à EDO.
Aplico
à equação diferencial. Uso que
, mas como
temos simplesmente
. Denotando
, obtemos
Assim
onde
. Coloco
em evidência:
Agora uso
, ou seja
. Então
Portanto
Se agora substituirmos a forma explícita de
(que calculamos no passo seguinte) veremos a forma simplificada. A transformada da função seno é
Substituindo em
,
Essa é a expressão buscada em (b).
Passo 4
Calcular explicitamente
e suas derivadas.
Definições:
Agora derivamos em
.
Derivo :
Derivo
Derivo
:
Passo 5
Expressão de
como combinação linear de
.
Queremos escrever
como combinação linear das funções
. Observando as formas obtidas no passo anterior, uma combinação conveniente é usar
e
porque suas formas com denominador
e
permitem eliminar os termos em
.
Tomemos a combinação
Calculamos (substituindo
e
):
Coloco sobre o denominador comum
:
Queremos que isso seja igual a
(ignorando por enquanto o fator
que é multiplicativo). Então igualamos numeradores:
Essa igualdade deve valer para todo
, então os coeficientes de
e o termo constante devem coincidir. Como o lado direito
não depende de
, o coeficiente de
do lado esquerdo deve ser zero:
O termo constante deve ser igual a
:
Substituindo
:
Logo
Portanto, voltando o fator
, obtemos
Isto é,
Passo 6
Obter
invertendo a transformada (usar a propriedade demonstrada no Passo 2).
Usamos as transformadas inversas conhecidas:
Pela propriedade do Passo 2,
. Assim
Apliquei a inversa termo a termo à expressão do Passo 5:
Coloco em forma factorada:
Essa é a solução explícita do problema inicial no caso ressonante
.
Passo 7
Comportamento de
para
grande.
A solução é
Para
grande o termo
domina em módulo sobre o termo
porque cresce linearmente em
, enquanto
é limitado. Assim a solução oscila com frequência
e amplitude que cresce aproximadamente em proporção a
. Em particular, os máximos e mínimos (o envelope) crescem linearmente e ficam aproximadamente entre
Esse crescimento linear da amplitude é a assinatura da ressonância: a força externa com a mesma frequência natural faz a resposta aumentar sem limite no modelo sem amortecimento.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Para grande,
oscila com frequência
e amplitude que cresce linearmente; o envelope é aproximadamente
.
(b)
(c)
(d)
(e) Para