Sempre que as transformadas de Laplace estiverem bem definidas, e a menos de sinal, vale a propriedade de que derivar na variável s corresponde a multiplicar na variável t. De fato, vale que \frac{d}{d s} \mathcal{L}[f(t)](s)=\mathcal{L}[-t f(t)](s). Essa propriedade pode ser usada para estudar o PVI
m y^{\prime \prime}(t)+k y(t)=F_{0} \operatorname{sen}\left(\omega_{0} t\right), \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=0
correspondente ao comportamento de um sistema massa-mola sujeito a uma força externa F_{0} \operatorname{sen}\left(\omega_{0} t\right), onde \omega_{0}=\sqrt{k / m}. Observe que \omega_{0} é também a freqüência natural de oscilação do sistema, e portanto o problema é ressonante.
a) Use derivação sob o sinal de integral para demonstrar que \frac{d}{d s} \mathcal{L}[f(t)](s)=\mathcal{L}[-t f(t)](s).
Resposta: \frac{d}{d s} \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-s t} f(t) d t=\int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial s}\left(\mathrm{e}^{-s t} f(t)\right) d t=\mathcal{L}[-t f(t)](s).
b) Calcule a transformada \mathcal{L}[y(t)](s).
Resposta: \mathcal{L}[y(t)](s)=\frac{F_{0}}{m} \frac{\omega_{0}}{\left(s^{2}+\omega_{0}^{2}\right)^{2}}
c) Expresse \mathcal{L}[y(t)](s) como uma combinação linear entre as funções F(s), F^{\prime}(s), G(s) e G^{\prime}(s), onde F(s)=\mathcal{L}\left[\operatorname{sen}\left(\omega_{0} t\right)\right](s) e G(s)=\mathcal{L}\left[\cos \left(\omega_{0} t\right)\right](s).
Resposta: \mathcal{L}[y(t)](s)=\frac{1}{2 \omega_{0}^{2} m} F(s)+\frac{1}{2 \omega_{0} m} G^{\prime}(s)
d) Use os itens anteriores para obter a solução y(t).
Resposta: y(t)=\frac{F_{0}}{2 \omega_{0} m}\left[\frac{1}{\omega_{0}} \operatorname{sen}\left(\omega_{0} t\right)-t \cos \left(\omega_{0} t\right)\right]
e) Descreva o comportamento da solução y(t) para valores grandes da variável t.
Resposta: oscila entre -\frac{F_{0}}{2 \omega_{0} m} t e \frac{F_{0}}{2 \omega_{0} m} t

Passo 1

O enunciado dá o problema inicial
m y^{\prime\prime}(t)+k y(t)=F_{0}\operatorname{sen}\!\left(\omega_{0} t\right),\qquad y(0)=0,\; y'(0)=0,
onde \omega_{0}=\sqrt{k/m}. As perguntas são:
  1. (a) Demonstrar a propriedade \dfrac{d}{d s}\mathcal{L}[f(t)](s)=\mathcal{L}[-t f(t)](s) usando diferenciação sob o sinal de integral.
  2. (b) Calcular \mathcal{L}[y(t)](s).
  3. (c) Escrever \mathcal{L}[y(t)](s) como combinação linear de F(s),F'(s),G(s),G'(s), onde F(s)=\mathcal{L}[\operatorname{sen}(\omega_{0}t)](s) e G(s)=\mathcal{L}[\cos(\omega_{0}t)](s).
  4. (d) Obter a solução y(t) (inverso da transformada).
  5. (e) Descrever o comportamento de y(t) para t grande.
Informações relevantes fornecidas:
  • Definição da transformada de Laplace \mathcal{L}[f](s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt.
  • Condição inicial y(0)=y'(0)=0.
  • Relação entre k,m e \omega_{0}: \omega_{0}^2=k/m.
  • Observação: as transformadas envolvidas são bem definidas (podemos trocar derivada e integral quando justificar).

Passo 2

Demonstração da propriedade \dfrac{d}{d s}\mathcal{L}[f(t)](s)=\mathcal{L}[-t f(t)](s).
Começo lembrando a definição da transformada: para s tal que a integral converge,
\mathcal{L}[f](s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt.
Queremos derivar essa integral em relação a s. O integrando é e^{-s t}f(t). A derivada parcial em relação a s é
\frac{\partial}{\partial s}\big(e^{-s t}f(t)\big) = -t e^{-s t} f(t).
Para trocar derivada e integral usamos um resultado padrão (diferenciação sob o sinal de integral): se para o s em questão a integral de e^{-s t}f(t) converge e existe uma função integrável dominante (por exemplo t e^{-s_0 t}|f(t)| integrável para algum s_0), então podemos aplicar a troca. O enunciado já nos diz que as transformadas estão bem definidas, então essas hipóteses são satisfeitas aqui. Assim
\frac{d}{ds}\mathcal{L}[f](s)=\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt =\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}\big(e^{-s t}f(t)\big)\,dt =\int_{0}^{\infty}(-t)e^{-s t}f(t)\,dt.
Mas a última integral é exatamente \mathcal{L}[-t f(t)](s). Portanto
\frac{d}{ds}\mathcal{L}[f](s)=\mathcal{L}[-t f(t)](s),
como pedido.

Passo 3

Calcular \mathcal{L}[y(t)](s) aplicando a transformada de Laplace à EDO.
Aplico \mathcal{L} à equação diferencial. Uso que \mathcal{L}[y'']=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0), mas como y(0)=y'(0)=0 temos simplesmente \mathcal{L}[y'']=s^{2}Y(s). Denotando Y(s)=\mathcal{L}[y](s), obtemos
m\mathcal{L}[y''](s)+k\mathcal{L}[y](s)=F_{0}\mathcal{L}[\operatorname{sen}(\omega_{0}t)](s).
Assim
m s^{2}Y(s)+k Y(s)=F_{0}\,F(s),
onde F(s)=\mathcal{L}[\operatorname{sen}(\omega_{0}t)](s). Coloco Y(s) em evidência:
Y(s)\big(m s^{2}+k\big)=F_{0}F(s).
Agora uso \omega_{0}^{2}=k/m, ou seja k=m\omega_{0}^{2}. Então
m s^{2}+k = m(s^{2}+\omega_{0}^{2}).
Portanto
Y(s)=\frac{F_{0}F(s)}{m(s^{2}+\omega_{0}^{2})}.
Se agora substituirmos a forma explícita de F(s) (que calculamos no passo seguinte) veremos a forma simplificada. A transformada da função seno é
F(s)=\mathcal{L}[\operatorname{sen}(\omega_{0}t)](s)=\frac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}.
Substituindo em Y(s),
Y(s)=\frac{F_{0}}{m}\cdot\frac{\omega_{0}}{(s^{2}+\omega_{0}^{2})(s^{2}+\omega_{0}^{2})} =\frac{F_{0}}{m}\cdot\frac{\omega_{0}}{(s^{2}+\omega_{0}^{2})^{2}}.
Essa é a expressão buscada em (b).

Passo 4

Calcular explicitamente F(s),G(s) e suas derivadas.
Definições:
F(s)=\mathcal{L}[\operatorname{sen}(\omega_{0}t)](s)=\frac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}, \qquad G(s)=\mathcal{L}[\cos(\omega_{0}t)](s)=\frac{s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}.
Agora derivamos em s.
Derivo F(s):
F'(s)=\frac{d}{ds}\left(\frac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}\right) =\omega_{0}\cdot\frac{-2s}{(s^{2}+\omega_{0}^{2})^{2}} =\frac{-2\omega_{0}s}{(s^{2}+\omega_{0}^{2})^{2}}.
Derivo G(s):
G'(s)=\frac{d}{ds}\left(\frac{s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}\right) =\frac{(s^{2}+\omega_{0}^{2})-2s^{2}}{(s^{2}+\omega_{0}^{2})^{2}} =\frac{\omega_{0}^{2}-s^{2}}{(s^{2}+\omega_{0}^{2})^{2}}.

Passo 5

Expressão de Y(s) como combinação linear de F,F',G,G'.
Queremos escrever
Y(s)=\frac{F_{0}\,\omega_{0}}{m(s^{2}+\omega_{0}^{2})^{2}}
como combinação linear das funções F(s),F'(s),G(s),G'(s). Observando as formas obtidas no passo anterior, uma combinação conveniente é usar F(s) e G'(s) porque suas formas com denominador (s^{2}+\omega_{0}^{2}) e (s^{2}+\omega_{0}^{2})^{2} permitem eliminar os termos em s^{2}.
Tomemos a combinação
A\,F(s)+B\,G'(s).
Calculamos (substituindo F e G'):
A\frac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}+B\frac{\omega_{0}^{2}-s^{2}}{(s^{2}+\omega_{0}^{2})^{2}}.
Coloco sobre o denominador comum (s^{2}+\omega_{0}^{2})^{2}:
\frac{A\omega_{0}(s^{2}+\omega_{0}^{2}) + B(\omega_{0}^{2}-s^{2})}{(s^{2}+\omega_{0}^{2})^{2}} =\frac{(A\omega_{0}-B)s^{2} + (A\omega_{0}+B)\omega_{0}^{2}}{(s^{2}+\omega_{0}^{2})^{2}}.
Queremos que isso seja igual a \dfrac{\omega_{0}}{(s^{2}+\omega_{0}^{2})^{2}} (ignorando por enquanto o fator \dfrac{F_{0}}{m} que é multiplicativo). Então igualamos numeradores:
(A\omega_{0}-B)s^{2} + (A\omega_{0}+B)\omega_{0}^{2} \equiv \omega_{0}.
Essa igualdade deve valer para todo s, então os coeficientes de s^{2} e o termo constante devem coincidir. Como o lado direito \omega_{0} não depende de s, o coeficiente de s^{2} do lado esquerdo deve ser zero:
A\omega_{0}-B=0 \quad\Rightarrow\quad B=A\omega_{0}.
O termo constante deve ser igual a \omega_{0}:
(A\omega_{0}+B)\omega_{0}^{2}=\omega_{0}.
Substituindo B=A\omega_{0}:
(A\omega_{0}+A\omega_{0})\omega_{0}^{2}=2A\omega_{0}\cdot\omega_{0}^{2}=2A\omega_{0}^{3}=\omega_{0}.
Logo
A=\frac{1}{2\omega_{0}^{2}},\qquad B=A\omega_{0}=\frac{1}{2\omega_{0}}.
Portanto, voltando o fator \dfrac{F_{0}}{m}, obtemos
Y(s)=\frac{F_{0}}{m}\cdot\frac{\omega_{0}}{(s^{2}+\omega_{0}^{2})^{2}} = \frac{F_{0}}{m}\left(\frac{1}{2\omega_{0}^{2}}F(s)+\frac{1}{2\omega_{0}}G'(s)\right).
Isto é,
\mathcal{L}[y](s)=\frac{F_{0}}{2\omega_{0}^{2}m}\,F(s)+\frac{F_{0}}{2\omega_{0}m}\,G'(s).

Passo 6

Obter y(t) invertendo a transformada (usar a propriedade demonstrada no Passo 2).
Usamos as transformadas inversas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}[F(s)]=\operatorname{sen}(\omega_{0}t), \qquad \mathcal{L}^{-1}[G(s)]=\cos(\omega_{0}t).
Pela propriedade do Passo 2, \dfrac{d}{ds}G(s)=G'(s)=\mathcal{L}[-t\cos(\omega_{0}t)](s). Assim
\mathcal{L}^{-1}[G'(s)]=-t\cos(\omega_{0}t).
Apliquei a inversa termo a termo à expressão do Passo 5:
y(t)=\frac{F_{0}}{2\omega_{0}^{2}m}\,\operatorname{sen}(\omega_{0}t) +\frac{F_{0}}{2\omega_{0}m}\,(-t\cos(\omega_{0}t)).
Coloco em forma factorada:
y(t)=\frac{F_{0}}{2\omega_{0}m}\left(\frac{1}{\omega_{0}}\operatorname{sen}(\omega_{0}t)-t\cos(\omega_{0}t)\right).
Essa é a solução explícita do problema inicial no caso ressonante \omega_{0}=\sqrt{k/m}.

Passo 7

Comportamento de y(t) para t grande.
A solução é
y(t)=\frac{F_{0}}{2\omega_{0}m}\left(\frac{1}{\omega_{0}}\operatorname{sen}(\omega_{0}t)-t\cos(\omega_{0}t)\right).
Para t grande o termo -t\cos(\omega_{0}t) domina em módulo sobre o termo \frac{1}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t) porque cresce linearmente em t, enquanto \sin é limitado. Assim a solução oscila com frequência \omega_{0} e amplitude que cresce aproximadamente em proporção a t. Em particular, os máximos e mínimos (o envelope) crescem linearmente e ficam aproximadamente entre
y(t)\approx \pm \frac{F_{0}}{2\omega_{0}m}\,t.
Esse crescimento linear da amplitude é a assinatura da ressonância: a força externa com a mesma frequência natural faz a resposta aumentar sem limite no modelo sem amortecimento.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{d}{ds}\mathcal{L}[f](s)=\mathcal{L}[-t f(t)](s).
(b) \displaystyle \mathcal{L}[y](s)=\frac{F_{0}}{m}\cdot\frac{\omega_{0}}{(s^{2}+\omega_{0}^{2})^{2}}.
(c) \displaystyle \mathcal{L}[y](s)=\frac{F_{0}}{2\omega_{0}^{2}m}\,F(s)+\frac{F_{0}}{2\omega_{0}m}\,G'(s).
(d) \displaystyle y(t)=\frac{F_{0}}{2\omega_{0}m}\left(\frac{1}{\omega_{0}}\operatorname{sen}(\omega_{0}t)-t\cos(\omega_{0}t)\right).
(e) Para t grande, y(t) oscila com frequência \omega_{0} e amplitude que cresce linearmente; o envelope é aproximadamente \pm \dfrac{F_{0}}{2\omega_{0}m}\,t.

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