Dado n um número inteiro. Prove que:
Se n é impar, então n^2-1 é múltiplo de 8 .

Passo 1

Temos o enunciado: dado um inteiro n, provar que se n é ímpar então n^2 - 1 é múltiplo de 8. O conteúdo envolve números ímpares e divisibilidade, e vamos usar a representação de ímpar da forma n = 2k+1 e propriedades de produtos consecutivos.

Passo 2

Como n é ímpar, escrevemos n = 2k + 1 para algum inteiro k. Então
n^2 - 1 = (2k + 1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k + 1 - 1 = 4k(k+1)

Passo 3

Note que k e k+1 são inteiros consecutivos, então um deles é par. Logo o produto k(k+1) é par, ou seja, existe um inteiro m tal que k(k+1) = 2m.

Passo 4

Substituindo em n^2 - 1 = 4k(k+1), temos
n^2 - 1 = 4 cdot 2m = 8m,
mostrando que n^2 - 1 é múltiplo de 8.

Resposta

n^2 - 1 é múltiplo de 8.

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