Dado n um número inteiro. Prove que:
n^2 é par se, e somente se, n é par.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um inteiro qualquer n, a afirmação “ n^2 é par” ocorre exatamente quando “ n é par”. O conteúdo é paridade de números inteiros, e vamos usar as definições de números pares e ímpares, junto com argumentos diretos e por contrarrecíproco.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as definições de par e ímpar:
Um inteiro n é dito par se existe um inteiro k tal que
n = 2k
Ele é ímpar se existe um inteiro k tal que
n = 2k + 1

Passo 3

Agora provamos a direção “se n é par então n^2 é par”. Suponha que n seja par, isto é, n = 2k para algum inteiro k. Então
n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2,(2k^2)
Como 2k^2 é um inteiro, concluímos que n^2 é múltiplo de 2, ou seja, é par.

Passo 4

Agora provamos a direção “se n^2 é par então n é par”. A maneira mais fácil é usar o contrarrecíproco: “se n é ímpar então n^2 é ímpar”. Suponha que n seja ímpar, ou seja, n = 2k + 1 para algum inteiro k. Então
n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2,(2k^2 + 2k) + 1
Isso mostra que n^2 tem a forma 2m + 1 com m = 2k^2 + 2k, logo n^2 é ímpar. Portanto, não é possível que n^2 seja par quando n é ímpar. Isso implica que, se n^2 é par, então n não pode ser ímpar, ou seja, n deve ser par.

Passo 5

Com as duas direções provadas ( n par implica n^2 par, e n^2 par implica n par), concluímos que n^2 é par se, e somente se, n é par.

Resposta

Concluímos que n^2 é par se, e somente se, n é par.

Exercícios relacionados