Dado
um número inteiro. Prove que:
é par se, e somente se,
é par.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um inteiro qualquer
, a afirmação “
é par” ocorre exatamente quando “
é par”. O conteúdo é paridade de números inteiros, e vamos usar as definições de números pares e ímpares, junto com argumentos diretos e por contrarrecíproco.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as definições de par e ímpar:
Um inteiro é dito par se existe um inteiro
tal que
Um inteiro
Ele é ímpar se existe um inteiro
tal que
Passo 3
Agora provamos a direção “se
é par então
é par”. Suponha que
seja par, isto é,
para algum inteiro
. Então
Como
é um inteiro, concluímos que
é múltiplo de 2, ou seja, é par.
Passo 4
Agora provamos a direção “se
é par então
é par”. A maneira mais fácil é usar o contrarrecíproco: “se
é ímpar então
é ímpar”. Suponha que
seja ímpar, ou seja,
para algum inteiro
. Então
Isso mostra que
tem a forma
com
, logo
é ímpar. Portanto, não é possível que
seja par quando
é ímpar. Isso implica que, se
é par, então
não pode ser ímpar, ou seja,
deve ser par.
Passo 5
Com as duas direções provadas (
par implica
par, e
par implica
par), concluímos que
é par se, e somente se,
é par.
Resposta
Concluímos que
é par se, e somente se,
é par.