Mostre, para quaisquer a, b, c, d in Z, que:
a <= b Leftrightarrow a+c <= b+c

Passo 1

Resumo do enunciado: Para quaisquer inteiros a, b, c queremos mostrar que adicionar o mesmo inteiro c a ambos os lados de uma desigualdade não altera sua veracidade. Vamos usar o conteúdo de ordem em Z e a propriedade de compatibilidade da adição, valendo-nos da definição de <= em inteiros, das propriedades associativa, comutativa e de cancelamento da adição.

Passo 2

Prova de a <= b Rightarrow a + c <= b + c: Pela definição de ordem em Z, dizer a <= b significa que existe minZ com m>=0 tal que b = a + m. Supondo a <= b, temos b = a + m. Somando c aos dois lados:
b + c = (a + m) + c

Passo 3

Pelas propriedades de associatividade e comutatividade da adição em Z:
(a + m) + c = a + (m + c) = a + c + m = (a + c) + m
Como m>=0, isso implica a + c <= b + c.

Passo 4

Prova de a + c <= b + c Rightarrow a <= b: Suponha a + c <= b + c. Então existe ninZ com n>=0 tal que
b + c = (a + c) + n

Passo 5

Aplicando a propriedade de cancelamento da adição (isto é, somando -c em ambos os lados, que preserva igualdade e ordem), obtemos
b = a + n
Como n>=0, concluímos a <= b.

Passo 6

Conclusão: Mostramos ambas as implicações, então
a <= b Leftrightarrow a + c <= b + c

Resposta

Para quaisquer inteiros a,b,c, vale a equivalência a<= bLeftrightarrow a + c <= b + c.

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