Mostre, para quaisquer
, que:
Passo 1
Resumo do enunciado: Para quaisquer inteiros
queremos mostrar que adicionar o mesmo inteiro
a ambos os lados de uma desigualdade não altera sua veracidade. Vamos usar o conteúdo de ordem em
e a propriedade de compatibilidade da adição, valendo-nos da definição de
em inteiros, das propriedades associativa, comutativa e de cancelamento da adição.
Passo 2
Prova de
: Pela definição de ordem em
, dizer
significa que existe
com
tal que
. Supondo
, temos
. Somando
aos dois lados:
Passo 3
Pelas propriedades de associatividade e comutatividade da adição em
:
Como
Passo 4
Prova de
: Suponha
. Então existe
com
tal que
Passo 5
Aplicando a propriedade de cancelamento da adição (isto é, somando
em ambos os lados, que preserva igualdade e ordem), obtemos
Como
Passo 6
Conclusão: Mostramos ambas as implicações, então
Resposta
Para quaisquer inteiros
, vale a equivalência
.