Demostre os seguintes resultados por indução, para o inteiro n >= 1 :
1^2+3^2+5^2+cdots+(2 n-1)^2=n(4 n^2-1)3

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, por indução no inteiro n>=1, que a soma dos quadrados dos n primeiros números ímpares satisfaz. Para resolver isso vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que envolve dois passos principais: base (inicialização) e passo indutivo.

Passo 2

Verificamos primeiro a base n=1. Para n=1 a soma do lado esquerdo é só 1^2=1 e o lado direito é

logo a fórmula vale para n(1)n=1l(4cdot1^2-1r)3=1,(4-1)3=33=1,.

Passo 3

Suponhamos agora que a fórmula seja verdadeira para um inteiro arbitrário k>=1. Ou seja,
1^2+3^2+cdots+(2k-1)^2=kl(4k^2-1r)3
Esse é nosso passo da hipótese de indução. Precisamos mostrar que a mesma fórmula vale para n=k+1.

Passo 4

Escrevemos a soma até k+1 termos como a soma até k mais o próximo termo:
1^2+3^2+cdots+(2k-1)^2+(2(k+1)-1)^2 =kl(4k^2-1r)3 + l(2k+1r)^2,
onde usamos a hipótese de indução no primeiro grupo. Agora simplificamos:
k(4k^2-1)3+(2k+1)^2 = k(4k^2-1)3 + 3(2k+1)^23

Passo 5

Expandindo e somando frações:
$$\frac{4k^3-k +3(4k^2+4k+1)}{3} = \frac{4k^3-k +12k^2+12k+3}{3}.
$$

Passo 6

Agrupando termos semelhantes no numerador:
4k^3 +12k^2 +11k +33 = (k+1)l(4(k+1)^2-1r)3, pois
4(k+1)^2-1 =4(k^2+2k+1)-1=4k^2+8k+3
e multiplicando por (k+1) recuperamos exatamente o numerador acima. Assim a fórmula vale para n=k+1.

Passo 7

Pelo Princípio da Indução, a igualdade
1^2+3^2+5^2+cdots+(2n-1)^2=n(4n^2-1)3
é verdadeira para todo inteiro n>=1.

Resposta

A fórmula está demonstrada: para todo inteiro n≥1 vale
1^2+3^2+5^2+cdots+(2n-1)^2=nl(4n^2-1r)3

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