Demostre os seguintes resultados por indução, para o inteiro
:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, por indução no inteiro
, que a soma dos quadrados dos
primeiros números ímpares satisfaz. Para resolver isso vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que envolve dois passos principais: base (inicialização) e passo indutivo.
Passo 2
Verificamos primeiro a base
. Para
a soma do lado esquerdo é só
e o lado direito é
logo a fórmula vale para
Passo 3
Suponhamos agora que a fórmula seja verdadeira para um inteiro arbitrário
. Ou seja,
Esse é nosso passo da hipótese de indução. Precisamos mostrar que a mesma fórmula vale para
Passo 4
Escrevemos a soma até
termos como a soma até
mais o próximo termo:
onde usamos a hipótese de indução no primeiro grupo. Agora simplificamos:
Passo 5
Expandindo e somando frações:
$$\frac{4k^3-k +3(4k^2+4k+1)}{3} = \frac{4k^3-k +12k^2+12k+3}{3}.
$$
Passo 6
Agrupando termos semelhantes no numerador:
e multiplicando por
Passo 7
Pelo Princípio da Indução, a igualdade
é verdadeira para todo inteiro
Resposta
A fórmula está demonstrada: para todo inteiro n≥1 vale