Mostre que, para todos
,
Passo 1
O exercício pede para mostrar que, para quaisquer inteiros a, b e c, a subtração satisfaz a relação a–(b+c) = (a–b)–c. O conteúdo aqui é a definição de subtração em ℤ (como soma do inverso) e a propriedade do inverso aditivo de uma soma.
Passo 2
Em ℤ sob adição temos um grupo abeliano, então cada elemento x tem um inverso aditivo (–x) tal que x + (–x) = 0. A subtração é definida por
Passo 3
Vamos reescrever o lado esquerdo usando essa definição. Temos
Passo 4
Aplicamos a propriedade do inverso de uma soma em grupo abeliano, que diz
Passo 5
Substituindo em a + (-(b + c)) e usando associatividade e comutatividade da soma, temos
Resposta
Para todos os inteiros a, b e c vale a - (b + c) = (a - b) - c.