Mostre que, para todos a, b, c in Z,
a-(b+c)=(a-b)-c

Passo 1

O exercício pede para mostrar que, para quaisquer inteiros a, b e c, a subtração satisfaz a relação a–(b+c) = (a–b)–c. O conteúdo aqui é a definição de subtração em ℤ (como soma do inverso) e a propriedade do inverso aditivo de uma soma.

Passo 2

Em ℤ sob adição temos um grupo abeliano, então cada elemento x tem um inverso aditivo (–x) tal que x + (–x) = 0. A subtração é definida por
a - d = a + (-d)

Passo 3

Vamos reescrever o lado esquerdo usando essa definição. Temos
a - (b + c) = a + ( - (b + c) )

Passo 4

Aplicamos a propriedade do inverso de uma soma em grupo abeliano, que diz
- (b + c) = (-b) + (-c)

Passo 5

Substituindo em a + (-(b + c)) e usando associatividade e comutatividade da soma, temos
a + ( (-b) + (-c) ) = (a + (-b)) + (-c) = (a - b) - c

Resposta

Para todos os inteiros a, b e c vale a - (b + c) = (a - b) - c.

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