Se um dado não é viciado cada uma das seis faces ocorre com igual probabilidade. Um determinado dado foi lançado 720 vezes, obtendo-se:
Face 1 2 3 4 5 6 Total
Frequência observada 129 107 98 132 136 118 720
O dado será considerado viciado para qual nível de significância? Explique sua resposta.

Passo 1

O enunciado diz que lançamos um dado “justo” 720 vezes e anotamos quantas vezes saiu cada face. Queremos testar se ele é viciado (isto é, se alguma face aparece com probabilidade diferente de 1/6).
Conteúdo: teste de aderência (goodness-of-fit) usando a estatística qui-quadrado.
O que vamos precisar:
  1. Hipóteses nula e alternativa.
  2. Cálculo da frequência esperada Ei.
  3. Fórmula da estatística chi^2 = sumi(Oi - Ei)^2Ei.
  4. Graus de liberdade e tabela de valores críticos para vários níveis de significância.

Passo 2

Definindo as hipóteses:
H₀: o dado é justo, logo pi = tfrac16 para cada face i=1,dots,6.
H₁: o dado é viciado, ou seja, alguma face tem probabilidade diferente de tfrac16.

Passo 3

Calcular a frequência esperada em cada face. Como há 720 lançamentos e 6 faces,
Ei ;=;7206;=;120para todo i

Passo 4

Agora montamos a estatística qui-quadrado:
chi^2 ;=;sumi=1^6 (Oi - Ei)^2Ei,
onde Oi são as frequências observadas. Vamos calcular cada termo:
- Face 1: (129-120)^2/120 = 9^2/120 = 81/120 = 0,675
- Face 2: (107-120)^2/120 = 13^2/120 = 169/120 approx 1,408
- Face 3: (98-120)^2/120 = 22^2/120 = 484/120 approx 4,033
- Face 4: (132-120)^2/120 = 12^2/120 = 144/120 = 1,200
- Face 5: (136-120)^2/120 = 16^2/120 = 256/120 approx 2,133
- Face 6: (118-120)^2/120 = 2^2/120 = 4/120 = 0,033
Somando:
chi^2 approx 0,675 + 1,408 + 4,033 + 1,200 + 2,133 + 0,033 = 9,482

Passo 5

O número de graus de liberdade é g = k - 1 = 6 - 1 = 5.

Passo 6

Consultando a tabela da distribuição chi^2 com 5 graus de liberdade:
  • Para alpha = 0,10, o valor crítico é chi^20,90;5 approx 9,24.
  • Para alpha = 0,05, o valor crítico é chi^20,95;5 approx 11,07.
Como nosso chi^2rm calc=9,482 > 9,24 mas 9,482 < 11,07, rejeitamos H₀ ao nível de 10% mas não ao nível de 5%.

Resposta

O dado será considerado viciado para nível de significância de 10% (ou seja, rejeitamos H₀ em alpha = 0,10), mas não para 5%.

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