O controle de qualidade das peças produzidas por certa fábrica exige que o diâmetro médio das mesmas seja 57 mm . Para verificar se o processo de produção está sob controle, observam-se os diâmetros de 10 peças, constatando-se os seguintes valores em mm: 56, 5 ; 56,6 ; 57,3 ; 56,9 ; 57,1 ; 56,7 ; 57,1 ; 56,8 ; 57,1 ; 57,0. Admitindo-se um nível de significância de 5 %, pode-se concluir que o processo de produção está sob controle?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: queremos testar se o diâmetro médio das peças é mesmo 57 mm, conforme o controle de qualidade manda. A gente tem uma amostra de n = 10 peças com os diâmetros 56,5; 56,6; 57,3; 56,9; 57,1; 56,7; 57,1; 56,8; 57,1; 57,0 mm. O nível de significância é α = 5 %. O conteúdo aqui é Teste de Hipótese para a média quando o desvio padrão da população é desconhecido, ou seja, vamos usar o Teste t de Student. Precisamos:
  1. Formular H₀ e H₁;
  2. Calcular a média amostral \bar{x} e o desvio padrão amostral s;
  3. Montar a estatística t;
  4. Comparar com o valor crítico ou calcular p-valor;
  5. Tirar a conclusão.

Passo 2

Definindo as hipóteses:
H₀: μ = 57 mm (o processo está sob controle)
H₁: μ ≠ 57 mm (o processo não está sob controle)
Como σ da população é desconhecido e n é pequeno, a estatística de teste é
t ;=;barx-mu0s/raizn
que segue a distribuição t de Student com df = n–1 = 9.

Passo 3

Calcular a média amostral \bar{x} e o desvio padrão amostral s:
barx = 110sumi=1^10 xi = 56,5 + 56,6 + cdots + 57,010 = 56,91;mm
Para s usamos
s = raiz1n-1sumi=1^n(xi - barx)^2 approx 0,256;mm

Passo 4

Agora a estatística t:
t = 56,91 - 570,256/raiz10 approx -0,090,081 approx -1,11
Como o teste é bilateral com α = 0,05, o valor crítico é
t9,,0,025 approx 2,262

Passo 5

Comparamos: |t| = 1,11 é menor que 2,262. Isso significa que o resultado amostral não está em região crítica, ou seja, o p-valor é maior que 0,05 e não rejeitamos H₀.

Resposta

Não rejeitamos H₀. Com base na amostra e no nível de 5 %, não há evidência estatística para dizer que o processo saiu do controle – o diâmetro médio ainda pode ser 57 mm.

Exercícios relacionados