(a) Calcule o trabalho, a partir da definição, realizado pela força \vec{F}=y \hat{\imath}+x \hat{\jmath} no deslocamento do ponto A:(0,0) para o ponto B:(\pi / 2,1), pela trajetória y=\sin (x). (b) Prove que \vec{F} é conservativa, (c) obtenha a energia potencial associada à força, \mathrm{e} (d) calcule o trabalho no mesmo deslocamento, através da relação entre trabalho e energia potencial.
\int \frac{d x}{a+b x}=\frac{\ln (a+b x)}{b} \vec{v}=\dot{r} \hat{r}+r \dot{\theta} \hat{\theta} \vec{a}=\left(\ddot{r}-r \dot{\theta}^{2}\right) \hat{r}+(2 \dot{r} \dot{\theta}+r \ddot{\theta}) \hat{\theta} \begin{aligned} $\hat{r} & =\cos (\theta) \hat{\imath}+\operatorname{sen}(\theta) \hat{\jmath} \\\ $\hat{\theta} & =-\operatorname{sen}(\theta) \hat{\imath}+\cos (\theta) \hat{\jmath} \end{aligned}
\vec{F}=-\vec{\nabla} V W=\int \vec{F} \cdot d \vec{r} K=\frac{m v^{2}}{2}

Passo 1

O enunciado pede as quatro coisas abaixo, e nos dá a força e a trajetória:
  • (a) Calcular o trabalho W realizado por \vec{F}=y\hat{\imath}+x\hat{\jmath} ao mover o ponto de A:(0,0) até B:\bigl(\pi/2,1\bigr) ao longo da curva y=\sin(x).
  • (b) Provar que \vec{F} é conservativa.
  • (c) Determinar a energia potencial (potencial escalar) V(x,y) associada a \vec{F}.
  • (d) Recalcular o trabalho do mesmo deslocamento usando a relação entre trabalho e energia potencial.
Informações dadas e relevantes:
  • Força: \vec{F}(x,y)=y\hat{\imath}+x\hat{\jmath}.
  • Trajetória: y=\sin(x) para x variando de 0 até \pi/2.
  • Ponto inicial A=(0,0) e ponto final B=\bigl(\pi/2,1\bigr).
  • Definição de trabalho: W=\int \vec{F}\cdot d\vec{r}.
  • Relação entre força conservativa e potencial: \vec{F}=-\nabla V e, para uma força conservativa, W_{A\to B}=V(A)-V(B).

Passo 2

Vamos calcular o trabalho diretamente pela definição W=\int \vec{F}\cdot d\vec{r}. Primeiro explico como parametrizar e montar a integral (a ideia passo a passo, como você faria na prova).
  • Parametrização da curva: escolha a coordenada x como parâmetro, porque a curva já é dada por y=\sin(x). Assim tomamos
\vec{r}(x)=x\,\hat{\imath}+\sin(x)\,\hat{\jmath},\qquad 0\le x\le \frac{\pi}{2}.
  • O diferencial de posição d\vec{r} é a derivada de \vec{r}(x) vezes dx:
d\vec{r}=\frac{d\vec{r}}{dx}\,dx=\bigl(1\cdot\hat{\imath}+\cos(x)\cdot\hat{\jmath}\bigr)\,dx.
  • A força ao longo da curva (substituindo y=\sin(x)) é
\vec{F}(x)=\sin(x)\,\hat{\imath}+x\,\hat{\jmath}.
  • O produto escalar que entra na integral é
\vec{F}\cdot d\vec{r}=\bigl(\sin(x)\bigr)(1\,dx)+\bigl(x\bigr)\bigl(\cos(x)\,dx\bigr)=\bigl(\sin(x)+x\cos(x)\bigr)\,dx.
Logo a integral do trabalho fica
W=\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{\pi/2}\bigl(\sin(x)+x\cos(x)\bigr)\,dx.

Passo 3

Agora vamos calcular a integral passo a passo. Para entender bem, eu mostro como integrar cada termo separadamente.
  • Integração do primeiro termo:
\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C.
Expliquei porque: a derivada de \cos(x) é -\sin(x), então a antiderivada de \sin(x) é -\cos(x).
  • Integração do segundo termo \int x\cos(x)\,dx: aqui usamos integração por partes. A ideia da integração por partes é escolher u e dv com du e v simples de obter. Escolha
u=x,\qquad dv=\cos(x)\,dx.
Então
du=dx,\qquad v=\sin(x).
A fórmula de integração por partes é \int u\,dv = uv - \int v\,du. Aplicando:
\int x\cos(x)\,dx = x\sin(x) - \int \sin(x)\,dx.
Já sabemos \int \sin(x)\,dx=-\cos(x), então
\int x\cos(x)\,dx = x\sin(x) - (-\cos(x)) = x\sin(x)+\cos(x).

Passo 4

Somando as duas antiderivadas obtidas:
\int\bigl(\sin(x)+x\cos(x)\bigr)\,dx = -\cos(x) + \bigl(x\sin(x)+\cos(x)\bigr) = x\sin(x).
Observe que houve um cancelamento bonito: -\cos(x)+\cos(x)=0. Então a primitiva é simplesmente x\sin(x).
Agora avaliamos no intervalo 0 até \pi/2:
W=\left[x\sin(x)\right]_{0}^{\pi/2}=\left(\frac{\pi}{2}\cdot\sin\!\frac{\pi}{2}\right)-\bigl(0\cdot\sin 0\bigr)=\frac{\pi}{2}\cdot 1 - 0=\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Prova de que \vec{F} é conservativa (explicação didática e prática que você pode usar na prova).
  • Uma forma prática no plano é verificar se o “rotacional” (componente perpendicular ao plano) é zero. Para um campo \vec{F}=P(x,y)\hat{\imath}+Q(x,y)\hat{\jmath} em uma região simplesmente conexa, se \partial Q/\partial x=\partial P/\partial y então o campo é conservativo. Aqui:
P(x,y)=y,\qquad Q(x,y)=x.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x)=1,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y)=1.
Como \partial Q/\partial x=\partial P/\partial y e o domínio natural do campo é todo \mathbb{R}^2 (que é simplesmente conexo), concluímos que \vec{F} é conservativa. Intuição: não existe “circulação” local; caminhos diferentes entre os mesmos pontos dão mesmo trabalho.

Passo 6

Determinar a energia potencial V(x,y) tal que \vec{F}=-\nabla V. Vou mostrar passo a passo como achar V (método padrão que você deve fazer na prova).
  • A condição \vec{F}=-\nabla V dá as equações
-\frac{\partial V}{\partial x}=P(x,y)=y,\qquad -\frac{\partial V}{\partial y}=Q(x,y)=x.
Ou seja
\frac{\partial V}{\partial x}=-y,\qquad \frac{\partial V}{\partial y}=-x.
  • Integre a primeira equação em relação a x:
\frac{\partial V}{\partial x}=-y \implies V(x,y) = -xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
  • Agora imponha a segunda equação: calcule \partial V/\partial y a partir de V(x,y)=-xy+h(y):
\frac{\partial V}{\partial y}=-x + h'(y).
Comparando com \frac{\partial V}{\partial y}=-x obtemos h'(y)=0, ou seja h(y)=C (constante real).
  • Portanto a energia potencial (até uma constante arbitrária) é
V(x,y)=-xy+C.
Na maioria dos problemas escolhemos C=0 para simplicidade, então V(x,y)=-xy é uma escolha conveniente.

Passo 7

Recalcular o trabalho usando energia potencial: para força conservativa vale a relação
W_{A\to B}=V(A)-V(B).
  • Com V(x,y)=-xy (escolhendo C=0) temos
V(A)=V(0,0)=-0\cdot 0=0,
V(B)=V\!\left(\frac{\pi}{2},1\right)=-\frac{\pi}{2}\cdot 1=-\frac{\pi}{2}.
  • Portanto
W_{A\to B}=V(A)-V(B)=0-\biggl(-\frac{\pi}{2}\biggr)=\frac{\pi}{2}.
Isto coincide com o resultado obtido pela integral direta, como esperado.

Resposta

(a) W=\dfrac{\pi}{2}
(b) \vec{F} é conservativa (pois \partial Q/\partial x=\partial P/\partial y=1 em \mathbb{R}^2)
(c) V(x,y)=-xy+C (escolhendo C=0, V(x,y)=-xy)
(d) W=V(A)-V(B)=\dfrac{\pi}{2}

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