(a) Calcule o trabalho, a partir da definição, realizado pela força
no deslocamento do ponto
para o ponto
, pela trajetória
. (b) Prove que
é conservativa, (c) obtenha a energia potencial associada à força,
(d) calcule o trabalho no mesmo deslocamento, através da relação entre trabalho e energia potencial.
|
|
|
|
|
|
|
|
Passo 1
O enunciado pede as quatro coisas abaixo, e nos dá a força e a trajetória:
- (a) Calcular o trabalho
realizado por ao mover o ponto de até ao longo da curva . - (b) Provar que
é conservativa. - (c) Determinar a energia potencial (potencial escalar)
associada a . - (d) Recalcular o trabalho do mesmo deslocamento usando a relação entre trabalho e energia potencial.
Informações dadas e relevantes:
- Força:
. - Trajetória:
para variando de até . - Ponto inicial
e ponto final . - Definição de trabalho:
. - Relação entre força conservativa e potencial:
e, para uma força conservativa, .
Passo 2
Vamos calcular o trabalho diretamente pela definição
. Primeiro explico como parametrizar e montar a integral (a ideia passo a passo, como você faria na prova).
- Parametrização da curva: escolha a coordenada
como parâmetro, porque a curva já é dada por . Assim tomamos
- O diferencial de posição
é a derivada de vezes :
- A força ao longo da curva (substituindo
) é
- O produto escalar que entra na integral é
Logo a integral do trabalho fica
Passo 3
Agora vamos calcular a integral passo a passo. Para entender bem, eu mostro como integrar cada termo separadamente.
- Integração do primeiro termo:
Expliquei porque: a derivada de
é
, então a antiderivada de
é
.
- Integração do segundo termo
: aqui usamos integração por partes. A ideia da integração por partes é escolher e com e simples de obter. Escolha
Então
A fórmula de integração por partes é
. Aplicando:
Já sabemos
, então
Passo 4
Somando as duas antiderivadas obtidas:
Observe que houve um cancelamento bonito:
. Então a primitiva é simplesmente
.
Agora avaliamos no intervalo
até
:
Passo 5
Prova de que
é conservativa (explicação didática e prática que você pode usar na prova).
- Uma forma prática no plano é verificar se o “rotacional” (componente perpendicular ao plano) é zero. Para um campo
em uma região simplesmente conexa, se então o campo é conservativo. Aqui:
Calcule as derivadas parciais:
Como
e o domínio natural do campo é todo
(que é simplesmente conexo), concluímos que
é conservativa. Intuição: não existe “circulação” local; caminhos diferentes entre os mesmos pontos dão mesmo trabalho.
Passo 6
Determinar a energia potencial
tal que
. Vou mostrar passo a passo como achar
(método padrão que você deve fazer na prova).
- A condição
dá as equações
Ou seja
- Integre a primeira equação em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
- Agora imponha a segunda equação: calcule
a partir de :
Comparando com
obtemos
, ou seja
(constante real).
- Portanto a energia potencial (até uma constante arbitrária) é
Na maioria dos problemas escolhemos
para simplicidade, então
é uma escolha conveniente.
Passo 7
Recalcular o trabalho usando energia potencial: para força conservativa vale a relação
- Com
(escolhendo ) temos
- Portanto
Isto coincide com o resultado obtido pela integral direta, como esperado.
Resposta
(a)
(b) é conservativa (pois
em
)
(c) (escolhendo
,
)
(d)
(b)
(c)
(d)