Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem” da função
Informações dadas que vamos usar: a função está definida em todo
, mas a expressão
tem comportamento especial no ponto
. O que precisamos entregar são as expressões de
e
(as derivadas parciais de segunda ordem), indicando claramente onde essas expressões valem.
Passo 2
Primeiro vamos achar as derivadas parciais de primeira ordem em um ponto genérico
com
. Vou usar a regra da cadeia e a regra da potência. Observação útil:
. A derivada de
é
. Aplicando a regra da cadeia para derivar em relação a
:
Analogamente, derivando em relação a
:
Essas fórmulas são válidas para
. No ponto
a derivada parcial em
restrita à reta
corresponde à derivada de
em
, que não existe (limites laterais diferentes); mesma conclusão para a derivada parcial em
. Portanto as derivadas parciais de primeira ordem em
não existem.
Passo 3
Agora calculamos
para
. Partimos de
Usamos a regra do produto: se
e
(tratando
como constante), então
Calculamos a segunda parcela com a regra da cadeia:
Substituindo:
Colocando em denominador comum
:
Passo 4
De modo totalmente análogo, calculamos
para
. Começamos de
Aplicando regra do produto e da cadeia (agora derivando em relação a
):
Note que a simetria entre
e
poderia ter nos levado direto a essa expressão trocando
.
Passo 5
Agora a derivada mista
para
. Partimos de
Derivando em relação a
(aqui
é tratado como constante), só a segunda parte depende de
:
Usando a regra da cadeia:
Logo
Passo 6
Pela igualdade das derivadas mistas sob condições de suavidade (e visto o cálculo explícito), obtemos também
No ponto
as derivadas parciais de primeira ordem não existem (por exemplo, restringindo a reta
temos
, cuja derivada em
não existe), então as derivadas parciais de segunda ordem em
também não existem.
Resposta
As derivadas parciais de primeira e, portanto, de segunda ordem não existem no ponto