Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
f(u, v)=\sqrt{u^{2}+v^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: “Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem” da função
f(u,v)=\sqrt{u^{2}+v^{2}}.
Informações dadas que vamos usar: a função está definida em todo \mathbb{R}^{2}, mas a expressão \sqrt{u^{2}+v^{2}} tem comportamento especial no ponto (u,v)=(0,0). O que precisamos entregar são as expressões de \displaystyle f_{uu},\; f_{vv},\; f_{uv} e \displaystyle f_{vu} (as derivadas parciais de segunda ordem), indicando claramente onde essas expressões valem.

Passo 2

Primeiro vamos achar as derivadas parciais de primeira ordem em um ponto genérico (u,v) com (u,v)\neq(0,0). Vou usar a regra da cadeia e a regra da potência. Observação útil: \sqrt{u^{2}+v^{2}}=(u^{2}+v^{2})^{1/2}. A derivada de g(t)=t^{1/2} é g'(t)=\tfrac{1}{2}t^{-1/2}. Aplicando a regra da cadeia para derivar em relação a u:
\frac{\partial f}{\partial u} =\frac{1}{2}(u^{2}+v^{2})^{-1/2}\cdot 2u =\frac{u}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}.
Analogamente, derivando em relação a v:
\frac{\partial f}{\partial v} =\frac{v}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}.
Essas fórmulas são válidas para (u,v)\neq(0,0). No ponto (0,0) a derivada parcial em u restrita à reta v=0 corresponde à derivada de |u| em 0, que não existe (limites laterais diferentes); mesma conclusão para a derivada parcial em v. Portanto as derivadas parciais de primeira ordem em (0,0) não existem.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle f_{uu}=\frac{\partial}{\partial u}\!\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right) para (u,v)\neq(0,0). Partimos de
\frac{\partial f}{\partial u}=u\,(u^{2}+v^{2})^{-1/2}.
Usamos a regra do produto: se h(u)=u e k(u)=(u^{2}+v^{2})^{-1/2} (tratando v como constante), então
\frac{\partial}{\partial u}\big(u\,(u^{2}+v^{2})^{-1/2}\big) =1\cdot (u^{2}+v^{2})^{-1/2}+u\cdot\frac{\partial}{\partial u}(u^{2}+v^{2})^{-1/2}.
Calculamos a segunda parcela com a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial u}(u^{2}+v^{2})^{-1/2} =-\tfrac{1}{2}(u^{2}+v^{2})^{-3/2}\cdot 2u =-u\,(u^{2}+v^{2})^{-3/2}.
Substituindo:
f_{uu}=(u^{2}+v^{2})^{-1/2}+u\big(-u\,(u^{2}+v^{2})^{-3/2}\big) =(u^{2}+v^{2})^{-1/2}-u^{2}(u^{2}+v^{2})^{-3/2}.
Colocando em denominador comum (u^{2}+v^{2})^{3/2}:
f_{uu}=\frac{u^{2}+v^{2}-u^{2}}{(u^{2}+v^{2})^{3/2}} =\frac{v^{2}}{(u^{2}+v^{2})^{3/2}}.

Passo 4

De modo totalmente análogo, calculamos \displaystyle f_{vv}=\frac{\partial}{\partial v}\!\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right) para (u,v)\neq(0,0). Começamos de
\frac{\partial f}{\partial v}=v\,(u^{2}+v^{2})^{-1/2}.
Aplicando regra do produto e da cadeia (agora derivando em relação a v):
f_{vv}=(u^{2}+v^{2})^{-1/2}-v^{2}(u^{2}+v^{2})^{-3/2} =\frac{u^{2}}{(u^{2}+v^{2})^{3/2}}.
Note que a simetria entre u e v poderia ter nos levado direto a essa expressão trocando u\leftrightarrow v.

Passo 5

Agora a derivada mista \displaystyle f_{uv}=\frac{\partial}{\partial v}\!\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right) para (u,v)\neq(0,0). Partimos de
\frac{\partial f}{\partial u}=u\,(u^{2}+v^{2})^{-1/2}.
Derivando em relação a v (aqui u é tratado como constante), só a segunda parte depende de v:
\frac{\partial}{\partial v}\big(u\,(u^{2}+v^{2})^{-1/2}\big) =u\cdot\frac{\partial}{\partial v}(u^{2}+v^{2})^{-1/2}.
Usando a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial v}(u^{2}+v^{2})^{-1/2} =-\tfrac{1}{2}(u^{2}+v^{2})^{-3/2}\cdot 2v =-v\,(u^{2}+v^{2})^{-3/2}.
Logo
f_{uv}=u\big(-v\,(u^{2}+v^{2})^{-3/2}\big) =-\frac{uv}{(u^{2}+v^{2})^{3/2}}.

Passo 6

Pela igualdade das derivadas mistas sob condições de suavidade (e visto o cálculo explícito), obtemos também
f_{vu}=\;-\frac{uv}{(u^{2}+v^{2})^{3/2}}\quad\text{para }(u,v)\neq(0,0).
No ponto (0,0) as derivadas parciais de primeira ordem não existem (por exemplo, restringindo a reta v=0 temos f(u,0)=|u|, cuja derivada em 0 não existe), então as derivadas parciais de segunda ordem em (0,0) também não existem.

Resposta

\displaystyle f_{uu}(u,v)=\frac{v^{2}}{(u^{2}+v^{2})^{3/2}} para (u,v)\neq(0,0).
\displaystyle f_{vv}(u,v)=\frac{u^{2}}{(u^{2}+v^{2})^{3/2}} para (u,v)\neq(0,0).
\displaystyle f_{uv}(u,v)=f_{vu}(u,v)=-\frac{uv}{(u^{2}+v^{2})^{3/2}} para (u,v)\neq(0,0).
As derivadas parciais de primeira e, portanto, de segunda ordem não existem no ponto (0,0).

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