Dado
um número inteiro. Prove que:
Se
é impar, então
é divisível por 24 .
Se
Passo 1
O que o problema dá e o que pede.
Dado um inteiro . O enunciado afirma a hipótese “
é ímpar” e pede para provar que
é divisível por 24.
Informações relevantes que temos explicitamente:
Dado um inteiro
Informações relevantes que temos explicitamente:
-
é um número inteiro; -
é ímpar (ou seja, não é divisível por 2).
O que devemos provar: mostrar quedivide , isto é, que é múltiplo de .
Passo 2
Fatorizar a expressão para ver sua estrutura.
Uma boa ferramenta é escrever como produto de fatores simples. Observe que
Uma boa ferramenta é escrever
Essa fatoração é útil porque mostra
como produto de três inteiros consecutivos:
. Vou trabalhar com esse produto para extrair fatores
e
(pois
).
Passo 3
Provar que
divide
.
Entre três inteiros consecutivos sempre há um múltiplo de . Explico de forma simples: os restos possíveis ao dividir um inteiro por
são
. Se
deixa resto
então
. Se
deixa resto
então
deixa resto
(logo
). Se
deixa resto
então
deixa resto
(logo
). Assim, sempre um dos fatores
,
ou
é múltiplo de
. Portanto
Entre três inteiros consecutivos sempre há um múltiplo de
Passo 4
Provar que
divide
quando
é ímpar.
Como é ímpar, os números
e
são pares. Então cada um contém pelo menos um fator
. Isso já garante dois fatores
no produto
. Além disso, entre dois números pares consecutivos um deles é múltiplo de
. Explico de maneira direta: números pares são da forma
; se
é par então
é múltiplo de
, se
é ímpar então o outro par adjacente terá
par e será múltiplo de
. Em termos de restos módulo
: um inteiro ímpar
é congruente a
ou a
modulo
. Se
então
; se
então
. Logo um entre
e
é múltiplo de
, e o outro é pelo menos múltiplo de
. Assim o produto
tem fator
. Como
é ímpar não contribui com fatores
, mas não é necessário: já temos
Como
Passo 5
Combinar as divisibilidades para obter
.
Concluímos que divide
e que
divide
. Como
e
são coprimos (isto é,
; em palavras: nenhum número primo além de
divide ambos), se um inteiro é múltiplo de
e também múltiplo de
então ele é múltiplo de
. Esse é um fato simples de aritmética: quando
, ter
e
implica
. Assim
Concluímos que
Passo 6
Conclusão final e encorajamento.
Portanto, para todo inteiro ímpar temos
divide
. Boa! Você acabou de ver uma prova curta que usa fatoração e argumentos simples sobre restos e paridade — ferramentas que caem muito em provas. Se quiser, posso mostrar alguns exemplos numéricos para fixar ou uma variação da prova usando congruências modulares de forma explícita.
Portanto, para todo inteiro ímpar