Dado n um número inteiro. Prove que:
Se n é impar, então n^{3}-n é divisível por 24 .

Passo 1

O que o problema dá e o que pede.
Dado um inteiro n. O enunciado afirma a hipótese “ n é ímpar” e pede para provar que n^{3}-n é divisível por 24.
Informações relevantes que temos explicitamente:
  • n é um número inteiro;
  • n é ímpar (ou seja, não é divisível por 2).
    O que devemos provar: mostrar que 24 divide n^{3}-n, isto é, que n^{3}-n é múltiplo de 24.

Passo 2

Fatorizar a expressão para ver sua estrutura.
Uma boa ferramenta é escrever n^{3}-n como produto de fatores simples. Observe que
n^{3}-n = n(n^{2}-1)=n(n-1)(n+1).
Essa fatoração é útil porque mostra n^{3}-n como produto de três inteiros consecutivos: n-1,\;n,\;n+1. Vou trabalhar com esse produto para extrair fatores 3 e 8 (pois 24=3\cdot 8).

Passo 3

Provar que 3 divide n(n-1)(n+1).
Entre três inteiros consecutivos sempre há um múltiplo de 3. Explico de forma simples: os restos possíveis ao dividir um inteiro por 3 são 0,1,2. Se n deixa resto 0 então 3\mid n. Se n deixa resto 1 então n-1 deixa resto 0 (logo 3\mid n-1). Se n deixa resto 2 então n+1 deixa resto 0 (logo 3\mid n+1). Assim, sempre um dos fatores n-1, n ou n+1 é múltiplo de 3. Portanto
3 \mid n(n-1)(n+1).

Passo 4

Provar que 8 divide n(n-1)(n+1) quando n é ímpar.
Como n é ímpar, os números n-1 e n+1 são pares. Então cada um contém pelo menos um fator 2. Isso já garante dois fatores 2 no produto (n-1)(n+1). Além disso, entre dois números pares consecutivos um deles é múltiplo de 4. Explico de maneira direta: números pares são da forma 2k; se k é par então 2k é múltiplo de 4, se k é ímpar então o outro par adjacente terá k+1 par e será múltiplo de 4. Em termos de restos módulo 4: um inteiro ímpar n é congruente a 1 ou a 3 modulo 4. Se n\equiv 1\pmod{4} então n-1\equiv 0\pmod{4}; se n\equiv 3\pmod{4} então n+1\equiv 0\pmod{4}. Logo um entre n-1 e n+1 é múltiplo de 4, e o outro é pelo menos múltiplo de 2. Assim o produto (n-1)(n+1) tem fator 4\cdot 2=8. Como n é ímpar não contribui com fatores 2, mas não é necessário: já temos
8 \mid (n-1)(n+1)\quad\text{e portanto}\quad 8 \mid n(n-1)(n+1).

Passo 5

Combinar as divisibilidades para obter 24\mid n^{3}-n.
Concluímos que 3 divide n(n-1)(n+1) e que 8 divide n(n-1)(n+1). Como 3 e 8 são coprimos (isto é, \gcd(3,8)=1; em palavras: nenhum número primo além de 1 divide ambos), se um inteiro é múltiplo de 3 e também múltiplo de 8 então ele é múltiplo de 3\cdot 8=24. Esse é um fato simples de aritmética: quando \gcd(a,b)=1, ter a\mid m e b\mid m implica ab\mid m. Assim
24 \mid n(n-1)(n+1)=n^{3}-n.

Passo 6

Conclusão final e encorajamento.
Portanto, para todo inteiro ímpar n temos 24 divide n^{3}-n. Boa! Você acabou de ver uma prova curta que usa fatoração e argumentos simples sobre restos e paridade — ferramentas que caem muito em provas. Se quiser, posso mostrar alguns exemplos numéricos para fixar ou uma variação da prova usando congruências modulares de forma explícita.

Resposta

24 \mid n^{3}-n quando n é ímpar.

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