Calcule o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o comprimento de arco da curva dada em forma paramétrica com
Informações dadas:
.
.
O intervalo do parâmetro é .
A pergunta é: qual é o comprimento da curva quando varia de
a
?
O intervalo do parâmetro é
A pergunta é: qual é o comprimento da curva quando
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada): para uma curva paramétrica
com
em
, o diferencial de arco é obtido aproximando um pequeno deslocamento:
Como
e
, dividindo por
e passando ao limite
obtemos o elemento de arco
Então o comprimento de arco
é
Aqui
e
. Na fórmula,
e
são as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Calcular as derivadas usando a regra do poder (derivada de
é
):
Passo 4
Substituir as derivadas na integranda da fórmula do comprimento:
Fatorando
:
Passo 5
Como
temos
, portanto
. Assim
Logo o comprimento é
Passo 6
Resolver a integral por substituição. Definimos
Então
Trocar os limites: quando
tem-se
; quando
tem-se
.
Passo 7
Substituindo na integral:
Simplificar a constante:
Integrando
:
Portanto
Passo 8
Simplificar os radicais que são óbvios:
e
. Assim a forma exata final é
Uma aproximação numérica (para conferir) é