Calcule o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.
\left\{\begin{array}{l}x=5 t^{2} \\\ y=2 t^{3}\end{array}, 0 \leq t \leq 1\right.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o comprimento de arco da curva dada em forma paramétrica com
x=5 t^{2},\qquad y=2 t^{3},\qquad 0\le t\le 1.
Informações dadas:
x(t)=5 t^{2}.
y(t)=2 t^{3}.
O intervalo do parâmetro é t\in[0,1].
A pergunta é: qual é o comprimento da curva quando t varia de 0 a 1?

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada): para uma curva paramétrica (x(t),y(t)) com t em [a,b], o diferencial de arco é obtido aproximando um pequeno deslocamento:
\Delta s\approx\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}.
Como \Delta x\approx \dfrac{dx}{dt}\Delta t e \Delta y\approx \dfrac{dy}{dt}\Delta t, dividindo por \Delta t e passando ao limite \Delta t\to0 obtemos o elemento de arco
ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\;dt.
Então o comprimento de arco L é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\;dt.
Aqui a=0 e b=1. Na fórmula, \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} são as derivadas de x e y em relação a t.

Passo 3

Calcular as derivadas usando a regra do poder (derivada de t^{n} é n t^{n-1}):
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(5 t^{2}\bigr)=5\cdot 2 t^{1}=10 t.
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(2 t^{3}\bigr)=2\cdot 3 t^{2}=6 t^{2}.

Passo 4

Substituir as derivadas na integranda da fórmula do comprimento:
\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}} =\sqrt{(10 t)^{2}+(6 t^{2})^{2}} =\sqrt{100 t^{2}+36 t^{4}}.
Fatorando t^{2}:
100 t^{2}+36 t^{4}=t^{2}(100+36 t^{2})=4 t^{2}(25+9 t^{2}).

Passo 5

Como t\in[0,1] temos t\ge 0, portanto \sqrt{t^{2}}=t. Assim
\sqrt{100 t^{2}+36 t^{4}}=\sqrt{4 t^{2}(25+9 t^{2})}=2 t\sqrt{25+9 t^{2}}.
Logo o comprimento é
L=\int_{0}^{1}2 t\sqrt{25+9 t^{2}}\;dt.

Passo 6

Resolver a integral por substituição. Definimos
u=25+9 t^{2}.
Então
du=18 t\;dt\quad\Rightarrow\quad t\;dt=\frac{du}{18}.
Trocar os limites: quando t=0 tem-se u=25; quando t=1 tem-se u=25+9\cdot1^{2}=34.

Passo 7

Substituindo na integral:
L=\int_{t=0}^{t=1}2 t\sqrt{25+9 t^{2}}\;dt =2\int_{u=25}^{u=34}\sqrt{u}\,\frac{du}{18} =\frac{2}{18}\int_{25}^{34}u^{1/2}\;du.
Simplificar a constante:
\frac{2}{18}=\frac{1}{9}.
Integrando u^{1/2}:
\int u^{1/2}\;du=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
L=\frac{1}{9}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{25}^{34}=\frac{2}{27}\Bigl(34^{3/2}-25^{3/2}\Bigr).

Passo 8

Simplificar os radicais que são óbvios: 25^{3/2}=(\sqrt{25})^{3}=5^{3}=125 e 34^{3/2}=34\sqrt{34}. Assim a forma exata final é
L=\frac{2}{27}\bigl(34\sqrt{34}-125\bigr).
Uma aproximação numérica (para conferir) é
L\approx 5,426101065.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{27}\bigl(34\sqrt{34}-125\bigr)
\displaystyle \approx 5,426101065

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