Determine a distância percorrida por uma partícula que se desloca entre os pontos A(2,3) e B(0,3) cuja posição, no instante t, é dada por x(t)=1+\cos (3 \sqrt{t}) e y(t)=3-\sin (3 \sqrt{t}). (observe que a resolução da integral envolve uma integral com descontinuidade)

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo t:
x(t)=1+\cos\!\bigl(3\sqrt{t}\bigr),\qquad y(t)=3-\sin\!\bigl(3\sqrt{t}\bigr).
Também diz que a partícula se desloca entre os pontos A(2,3) e B(0,3). A pergunta é: determinar a distância percorrida pela partícula nesse deslocamento (ou seja, o comprimento da curva paramétrica entre o tempo em que ela está em A e o tempo em que ela atinge B). As informações relevantes fornecidas são as funções x(t) e y(t) e as coordenadas dos pontos A e B.

Passo 2

Precisamos achar os instantes t correspondentes a A e a B.
Para que y(t)=3 temos
3-\sin\!\bigl(3\sqrt{t}\bigr)=3 \quad\Rightarrow\quad \sin\!\bigl(3\sqrt{t}\bigr)=0.
Isto ocorre quando 3\sqrt{t}=k\pi para algum inteiro k.
Agora verificamos x(t) nesses casos:
x(t)=1+\cos\!\bigl(3\sqrt{t}\bigr)=1+\cos(k\pi)=1+(-1)^k.
  • Para k par temos x=1+1=2, isto corresponde ao ponto A(2,3). O menor k par é k=0, que dá 3\sqrt{t}=0\Rightarrow t=0. Logo A ocorre em t_0=0.
  • Para k ímpar temos x=1-1=0, isto corresponde ao ponto B(0,3). O menor k ímpar positivo é k=1, que dá 3\sqrt{t}=\pi\Rightarrow \sqrt{t}=\pi/3\Rightarrow t=\pi^2/9. Logo B ocorre em t_1=\pi^2/9.
Portanto o intervalo de tempo de interesse é \bigl[0,\pi^2/9\bigr].

Passo 3

A fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada por x(t),y(t) entre t=t_0 e t=t_1 é
S=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\biggl(\frac{dx}{dt}\biggr)^2+\biggl(\frac{dy}{dt}\biggr)^2}\,dt.
Interpretação: a quantidade dentro da raiz é a soma dos quadrados das componentes da velocidade; a raiz é a velocidade escalar (módulo da velocidade). O integral acumula essa velocidade ao longo do tempo, dando a distância total percorrida. Vamos aplicar esta fórmula com t_0=0 e t_1=\pi^2/9.

Passo 4

Calculamos as derivadas usando regra da cadeia. Definimos u(t)=3\sqrt{t}=3t^{1/2}. Então du/dt=(3/2)t^{-1/2}=\dfrac{3}{2\sqrt{t}} (válido para t>0; em t=0 a derivada de u é singular, mais adiante tratamos isso como integral imprópria).
Agora:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(1+\cos(u(t))\bigr)=-\sin(u(t))\cdot\frac{du}{dt}=-\sin\!\bigl(3\sqrt{t}\bigr)\cdot\frac{3}{2\sqrt{t}},
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(3-\sin(u(t))\bigr)=-\cos(u(t))\cdot\frac{du}{dt}=-\cos\!\bigl(3\sqrt{t}\bigr)\cdot\frac{3}{2\sqrt{t}}.

Passo 5

Agora somamos os quadrados das derivadas:
\biggl(\frac{dx}{dt}\biggr)^2+\biggl(\frac{dy}{dt}\biggr)^2 =\left(\frac{3}{2\sqrt{t}}\right)^2\bigl(\sin^2(3\sqrt{t})+\cos^2(3\sqrt{t})\bigr).
Usamos a identidade trigonométrica \sin^2\theta+\cos^2\theta=1. Portanto
\biggl(\frac{dx}{dt}\biggr)^2+\biggl(\frac{dy}{dt}\biggr)^2=\left(\frac{3}{2\sqrt{t}}\right)^2=\frac{9}{4t}.
A velocidade escalar (módulo da velocidade) é
\sqrt{\biggl(\frac{dx}{dt}\biggr)^2+\biggl(\frac{dy}{dt}\biggr)^2}=\frac{3}{2\sqrt{t}} \qquad(t>0).

Passo 6

O comprimento é
S=\int_{0}^{\pi^2/9}\frac{3}{2\sqrt{t}}\,dt.
Observe que o integrando tem singularidade em t=0 (comportamento como t^{-1/2}), então tratamos como integral imprópria:
S=\lim_{a\to 0^+}\int_{a}^{\pi^2/9}\frac{3}{2}t^{-1/2}\,dt.
Calculamos a integral primitiva: \displaystyle\int t^{-1/2}\,dt=2\sqrt{t}. Assim
\int_{a}^{\pi^2/9}\frac{3}{2}t^{-1/2}\,dt=\frac{3}{2}\cdot\bigl[2\sqrt{t}\bigr]_{t=a}^{t=\pi^2/9} =3\bigl(\sqrt{\pi^2/9}-\sqrt{a}\bigr).
Fazendo a\to 0^+ obtemos
S=3\sqrt{\frac{\pi^2}{9}}-3\cdot 0 =3\cdot\frac{\pi}{3}=\pi.
Portanto a integral imprópria converge e o comprimento é \pi.

Passo 7

Comentário geométrico (cheque rápido e intuição): escrevendo as coordenadas em função de u=3\sqrt{t} temos
x-1=\cos u,\qquad y-3=-\sin u,
logo
(x-1)^2+(y-3)^2=\cos^2 u+\sin^2 u=1.
Isto mostra que a partícula se move sobre a circunferência de centro (1,3) e raio 1. O parâmetro angular é u=3\sqrt{t} que varia de u(0)=0 a u(\pi^2/9)=\pi, ou seja, percorre um arco de ângulo \pi radianos em uma circunferência de raio 1. Comprimento do arco = raio \times ângulo =1\cdot\pi=\pi, confirmando o resultado anterior. Bom para entender geometricamente por que deu um valor tão simples.

Resposta

\pi

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