Determine a distância percorrida por uma partícula que se desloca entre os pontos
e
cuja posição, no instante
, é dada por
e
. (observe que a resolução da integral envolve uma integral com descontinuidade)
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo
:
Também diz que a partícula se desloca entre os pontos
e
. A pergunta é: determinar a distância percorrida pela partícula nesse deslocamento (ou seja, o comprimento da curva paramétrica entre o tempo em que ela está em
e o tempo em que ela atinge
). As informações relevantes fornecidas são as funções
e
e as coordenadas dos pontos
e
.
Passo 2
Precisamos achar os instantes
correspondentes a
e a
.
Para que
temos
Isto ocorre quando
para algum inteiro
.
Agora verificamos
nesses casos:
- Para
par temos , isto corresponde ao ponto . O menor par é , que dá . Logo ocorre em . - Para
ímpar temos , isto corresponde ao ponto . O menor ímpar positivo é , que dá . Logo ocorre em .
Portanto o intervalo de tempo de interesse é
.
Passo 3
A fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada por
entre
e
é
Interpretação: a quantidade dentro da raiz é a soma dos quadrados das componentes da velocidade; a raiz é a velocidade escalar (módulo da velocidade). O integral acumula essa velocidade ao longo do tempo, dando a distância total percorrida. Vamos aplicar esta fórmula com
e
.
Passo 4
Calculamos as derivadas usando regra da cadeia. Definimos
. Então
(válido para
; em
a derivada de
é singular, mais adiante tratamos isso como integral imprópria).
Agora:
Passo 5
Agora somamos os quadrados das derivadas:
Usamos a identidade trigonométrica
. Portanto
A velocidade escalar (módulo da velocidade) é
Passo 6
O comprimento é
Observe que o integrando tem singularidade em
(comportamento como
), então tratamos como integral imprópria:
Calculamos a integral primitiva:
. Assim
Fazendo
obtemos
Portanto a integral imprópria converge e o comprimento é
.
Passo 7
Comentário geométrico (cheque rápido e intuição): escrevendo as coordenadas em função de
temos
logo
Isto mostra que a partícula se move sobre a circunferência de centro
e raio
. O parâmetro angular é
que varia de
a
, ou seja, percorre um arco de ângulo
radianos em uma circunferência de raio
. Comprimento do arco = raio
ângulo
, confirmando o resultado anterior. Bom para entender geometricamente por que deu um valor tão simples.