Demonstre a desigualdade triangular, isto é, mostre que, para quaisquer a, b \in Z, temos:
|a+b| \leq|a|+|b|

Passo 1

O enunciado pede que mostremos a desigualdade
|a+b| \leq |a| + |b|
para quaisquer a,b \in \mathbb{Z}. As informações dadas são apenas que a e b são inteiros e que a função valor absoluto |\cdot| é a usual. Não há outras condições adicionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar e compreender bem o que é o valor absoluto. Para qualquer número real x\) (e, portanto, para qualquer inteiro), \[|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x \ge 0,\\[4pt] - x, & \text{se } x < 0. \end{cases}
Dessa definição segue imediatamente que |x|\ge 0\] para todo \(x e que |x|^2 = x^2, porque seja x positivo ou negativo, ao quadrar o sinal some.]

Passo 3

Uma ideia útil é comparar os quadrados dos dois lados da desigualdade. Isso é válido porque ambos os lados são não negativos: |a+b|\ge 0 e |a|+|b|\ge 0. Se conseguirmos provar
|a+b|^2 \le (|a|+|b|)^2,
então podemos aplicar a função raiz quadrada (que é crescente em [0,\infty)) em ambos os lados e obter a desigualdade desejada. Em outras palavras, para u,v\ge 0, u^2\le v^2 implica u\le v.

Passo 4

Calculemos os dois quadrados separadamente. Primeiro,
|a+b|^2 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
onde usei que |a+b|^2=(a+b)^2 pela observação do Passo 2.

Passo 5

Agora calculemos o quadrado do outro lado:
(|a|+|b|)^2 = |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2.
Pela propriedade |x|^2 = x^2 do Passo 2, isso é
(|a|+|b|)^2 = a^2 + 2|a||b| + b^2.

Passo 6

Compare os termos centrais das duas expressões: em (a+b)^2 o termo central é 2ab e em (|a|+|b|)^2 é 2|a||b|. Note que para quaisquer a,b vale
ab \le |ab| = |a||b|.
Isto é claro porque |ab| é sempre não negativo e igual a ab quando ab\ge0 e a -ab quando ab<0; em todos os casos ab \le |a||b|. Multiplicando ambos os lados por 2 (que mantém a desigualdade), obtemos
2ab \le 2|a||b|.

Passo 7

Somando a^2 e b^2 aos dois lados da desigualdade do Passo 6, obtemos
a^2 + 2ab + b^2 \le a^2 + 2|a||b| + b^2.
Pelas expressões do Passo 4 e do Passo 5 isto é exatamente
|a+b|^2 \le (|a|+|b|)^2.

Passo 8

Como discutido no Passo 3, ambos os lados são não negativos, então podemos tirar a raiz quadrada preservando a desigualdade. Assim
|a+b| \le |a| + |b|.
Isso prova a desigualdade triangular para quaisquer a,b\in\mathbb{Z}.

Resposta

|a+b| \le |a| + |b|

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