Demonstre a desigualdade triangular, isto é, mostre que, para quaisquer
, temos:
Passo 1
O enunciado pede que mostremos a desigualdade
para quaisquer
. As informações dadas são apenas que
e
são inteiros e que a função valor absoluto
é a usual. Não há outras condições adicionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar e compreender bem o que é o valor absoluto. Para qualquer número real
Dessa definição segue imediatamente que
e que
, porque seja
positivo ou negativo, ao quadrar o sinal some.]
Passo 3
Uma ideia útil é comparar os quadrados dos dois lados da desigualdade. Isso é válido porque ambos os lados são não negativos:
e
. Se conseguirmos provar
então podemos aplicar a função raiz quadrada (que é crescente em
) em ambos os lados e obter a desigualdade desejada. Em outras palavras, para
,
implica
.
Passo 4
Calculemos os dois quadrados separadamente. Primeiro,
onde usei que
pela observação do Passo 2.
Passo 5
Agora calculemos o quadrado do outro lado:
Pela propriedade
do Passo 2, isso é
Passo 6
Compare os termos centrais das duas expressões: em
o termo central é
e em
é
. Note que para quaisquer
vale
Isto é claro porque
é sempre não negativo e igual a
quando
e a
quando
; em todos os casos
. Multiplicando ambos os lados por
(que mantém a desigualdade), obtemos
Passo 7
Somando
e
aos dois lados da desigualdade do Passo 6, obtemos
Pelas expressões do Passo 4 e do Passo 5 isto é exatamente
Passo 8
Como discutido no Passo 3, ambos os lados são não negativos, então podemos tirar a raiz quadrada preservando a desigualdade. Assim
Isso prova a desigualdade triangular para quaisquer
.