Dado a in Z número par, estabeleça que
a^2+(a+2)^2+(a+4)^2+4
é divisível por 12 .

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que, se a é um número par em Z, então a expressão a^2+(a+2)^2+(a+4)^2+4 é múltipla de 12. O conteúdo é divisibilidade e manipulação algébrica: vamos usar a definição de número par e fatoração.

Passo 2

Como a é par, existe kinZ tal que a=2k. Vamos substituir isso na expressão.

Passo 3

Substituindo a=2k vemos que:
a^2=(2k)^2=4k^2,
(a+2)^2=(2k+2)^2=4(k+1)^2,

Passo 4

Então a soma fica:
4k^2+4(k+1)^2+4(k+2)^2+4

Passo 5

Agora expandimos e somamos termos semelhantes:
4k^2+4(k^2+2k+1)+4(k^2+4k+4)+4=4k^2+4k^2+8k+4+4k^2+16k+16+4=12k^2+24k+24

Passo 6

Fatorando 12 em evidência:
12k^2+24k+24=12l(k^2+2k+2r)

Passo 7

Como k^2+2k+2 é inteiro, a expressão inteira é múltipla de 12.

Resposta

A expressão é igual a 12(k^2+2k+2), logo é divisível por 12.

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