Prove, por indução finita, que as seguintes fórmulas são válidas:
(1,0 pt.) 1 cdot 2+2 cdot 3+cdots+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3, forall n in N backslash0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução finita, que para todo inteiro positivo n vale
1cdot2 + 2cdot3 + cdots + n(n+1) = n(n+1)(n+2)3
O conteúdo que vamos usar é o princípio de indução matemática, que envolve verificar o caso base e depois fazer o passo indutivo.

Passo 2

Verificamos o caso base n=1:
1cdot2 = 2
e o lado direito para n=1 é
1cdot2cdot33 = 63 = 2
Como ambos dão 2, o caso base está certo.

Passo 3

Agora suponha como hipótese de indução que para certo n>=1
1cdot2 + 2cdot3 + cdots + n(n+1) = n(n+1)(n+2)3
Precisamos mostrar que então vale também para n+1:
1cdot2 + 2cdot3 + cdots + n(n+1) + (n+1)(n+2)
Pela hipótese de indução, isso é
n(n+1)(n+2)3 + (n+1)(n+2)
Fatorando (n+1)(n+2):
(n+1)(n+2)l(n3 + 1r) = (n+1)(n+2)n+33 = (n+1)(n+2)(n+3)3
Isso coincide exatamente com a fórmula em n+1.
Portanto, o passo indutivo está completo.

Resposta

Pela indução, a fórmula vale para todo inteiro n>=1.

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