Prove, por indução finita, que as seguintes fórmulas são válidas:
.)
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por indução finita, que para todo inteiro positivo
vale
O conteúdo que vamos usar é o princípio de indução matemática, que envolve verificar o caso base e depois fazer o passo indutivo.
Passo 2
Verificamos o caso base
:
e o lado direito para
é
Como ambos dão 2, o caso base está certo.
Passo 3
Agora suponha como hipótese de indução que para certo
Precisamos mostrar que então vale também para
:
Pela hipótese de indução, isso é
Fatorando
:
Isso coincide exatamente com a fórmula em
.
Portanto, o passo indutivo está completo.
Portanto, o passo indutivo está completo.
Resposta
Pela indução, a fórmula vale para todo inteiro
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