Questão 5. ( 20 pts) Considere os seguintes resultados para a equação f(x)=\ln (x)+x^{2}-2, com raiz exata \alpha no intervalo [1,2] :
  • Método da bisseção: Após 3 iterações, x_{3}=1.4, com erro absoluto \left|x_{3}-\alpha\right|=0.0859.
  • Método das secantes: Após 2 iterações, x_{2}=1.3798, com erro relativo \left|x_{2}-\alpha\right| /|\alpha|=0.05.
  • Um método de ponto fixo: Não convergiu no intervalo dado.
Responda:
  1. Qual método foi mais eficiente em termos de erro? Justifique.
  2. Por que o método de ponto fixo não convergiu neste intervalo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que é pedido.
Dados fornecidos:
  • Para f(x)=\ln(x)+x^{2}-2 com raiz exata \alpha\in[1,2]:
    • Método da bisseção: depois de 3 iterações x_{3}=1{,}4 e erro absoluto \left|x_{3}-\alpha\right|=0{,}0859.
    • Método das secantes: depois de 2 iterações x_{2}=1{,}3798 e erro relativo \dfrac{\left|x_{2}-\alpha\right|}{|\alpha|}=0{,}05.
    • Método de ponto fixo: não convergiu no intervalo dado.
O enunciado pergunta:
  1. Qual método foi mais eficiente em termos de erro? Justifique.
  2. Por que o método de ponto fixo não convergiu neste intervalo?

Passo 2

O que significa comparar eficiência em termos de erro e que vamos fazer:
  • Definições úteis:
    • erro absoluto: E_{\text{abs}}=|x_n-\alpha|;
    • erro relativo: E_{\text{rel}}=\dfrac{|x_n-\alpha|}{|\alpha|}.
  • Para comparar diretamente vamos converter o erro relativo informado para erro absoluto usando |x_2-\alpha|=E_{\text{rel}}\cdot|\alpha|.
  • Para isso precisamos de uma aproximação de \alpha suficiente para calcular |x_2-\alpha|. Vou achar \alpha numericamente com precisão razoável (padrão de prova: algumas casas decimais bastam).

Passo 3

Encontrar \alpha (aproximação) resolvendo f(x)=\ln(x)+x^{2}-2=0 em [1,2].
Avaliações rápidas para localizar e aproximar a raiz:
  • f(1)=\ln(1)+1-2=-1 (negativo).
  • f(1{,}4)=\ln(1{,}4)+1{,}4^{2}-2\approx0{,}33647+1{,}96-2=0{,}29647 (positivo).
    Logo a raiz está entre 1{,}3 e 1{,}4.
Refinando por tentativas (só algumas avaliações, mostrando o raciocínio):
  • f(1{,}3)=\ln(1{,}3)+1{,}3^{2}-2\approx0{,}26236+1{,}69-2=-0{,}04764.
  • f(1{,}314)=\ln(1{,}314)+1{,}314^{2}-2\approx0{,}272446+1{,}726596-2=-0{,}000958.
  • f(1{,}3143)=\ln(1{,}3143)+1{,}3143^{2}-2\approx0{,}272680+1{,}727344-2=0{,}000024.
Como f(1{,}314) é ligeiramente negativo e f(1{,}3143) ligeiramente positivo, a raiz está entre esses valores. Tomando uma aproximação com precisão adequada obtemos
\alpha\approx1{,}31429.
(esta aproximação é suficiente para comparar erros dados no enunciado.)

Passo 4

Calcular o erro absoluto do método das secantes a partir do erro relativo informado.
Dado x_{2}=1{,}3798 e E_{\text{rel}}=0{,}05, temos
|x_{2}-\alpha| = 0{,}05\cdot|\alpha| \approx 0{,}05\cdot 1{,}31429 \approx 0{,}0657145 \approx 0{,}0657.
Já o método da bisseção deu explicitamente
|x_{3}-\alpha| = 0{,}0859.
Comparando:
0{,}0657 < 0{,}0859,
ou seja, o erro absoluto do método das secantes (após 2 iterações) é menor que o erro absoluto do método da bisseção (após 3 iterações). Além disso, as secantes obteve maior precisão com menos iterações.

Passo 5

Interpretação teórica (por que isso era de esperar) — explicando para a prova:
  • O método da bisseção tem convergência linear com fator de redução do intervalo de erro igual a 1/2 por iteração: após n iterações o semi‑intervalo máximo é (b-a)/2^{n}. É robusto e garante a redução do erro, mas é relativamente lento.
  • O método das secantes tem convergência superlinear com ordem aproximadamente \varphi\approx1{,}618 (a razão áurea). Isso costuma dar uma redução do erro mais rápida do que a bisseção em poucas iterações quando ele converge bem.
  • Portanto, observar que as secantes deram menor erro em menos iterações está de acordo com a teoria: secantes tendem a ser mais eficientes (menor erro por iteração) quando funcionam adequadamente.
Conclusão parcial para a pergunta 1: o método das secantes foi mais eficiente em termos de erro porque produziu menor erro absoluto e com menos iterações.

Passo 6

Por que o método de ponto fixo não convergiu (resposta detalhada e didática para a prova).
Princípio de convergência do ponto‑fixo (Banach):
  • Para resolver f(x)=0 por ponto fixo escreve‑se x=g(x) e itera‑se x_{n+1}=g(x_n).
  • Uma condição simples que garante convergência local é: existe k\in[0,1) tal que |g'(x)|\le k<1 para todo x em algum intervalo que contenha a raiz. Nesse caso g é uma contração e a iteração converge para o ponto fixo.
No problema específico, a razão mais provável para não convergir é que a reformulação x=g(x) escolhida não gerou uma função g contratante em [1,2]. Exemplos concretos mostram isso:
  • Uma possível rearranjo é x=g_{1}(x)=e^{\,2-x^{2}} (vem de \ln x=2-x^{2}). Temos g_{1}'(x) = -2x\,e^{\,2-x^{2}}.Em x=1 isso vale |g_{1}'(1)|=2e\approx5{,}436>1. Como |g_{1}'| é maior que 1 perto de x=1, g_{1} não é uma contração no intervalo e a iteração x_{n+1}=g_{1}(x_n) tende a divergir ou oscilar em vez de convergir.
  • Outro rearranjo possível é x=g_{2}(x)=\sqrt{\,2-\ln x\,}. Para este g_{2}'(x) = -\dfrac{1}{2x\sqrt{\,2-\ln x\,}}.Em [1,2] tem-se |g_{2}'(x)|\le 1/(2\cdot1\cdot\sqrt{2})\approx0{,}3536<1, ou seja, g_{2} é contratante no intervalo e essa escolha tenderia a convergir.
  • Como o enunciado afirma que o método de ponto fixo não convergiu, isso indica que a forma g utilizada no enunciado era uma forma “má” (como g_{1} ou outra com |g'|\ge1 em parte do intervalo). Portanto a razão do fracasso é que a condição de contrato ( |g'(x)|<1 numa vizinhança da raiz) não foi satisfeita para o g escolhido.
Resumindo para a prova: sempre que for usar ponto fixo, verifique antes se existe um g tal que |g'(x)|<1 no intervalo; se não houver, o método pode divergir.

Resposta

  1. O método das secantes foi mais eficiente em termos de erro: o erro absoluto aproximado de x_{2} é 0{,}05\cdot\alpha\approx0{,}0657, que é menor que o erro absoluto da bisseção 0{,}0859; além disso as secantes obtiveram esse erro em 2 iterações contra 3 da bisseção.
  2. Porque a forma g usada para a iteração de ponto fixo não foi contratante em [1,2]: isto é, |g'(x)| não ficou menor que 1 no intervalo (por exemplo, para g(x)=e^{2-x^{2}} tem-se |g'(1)|=2e>1), então a condição de Banach para convergência por ponto fixo não foi satisfeita.

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