Questão 5. ( 20 pts) Considere os seguintes resultados para a equação
, com raiz exata
no intervalo
:
- Método da bisseção: Após 3 iterações,
, com erro absoluto
.
- Método das secantes: Após 2 iterações,
, com erro relativo
.
- Um método de ponto fixo: Não convergiu no intervalo dado.
Responda:
- Qual método foi mais eficiente em termos de erro? Justifique.
- Por que o método de ponto fixo não convergiu neste intervalo?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que é pedido.
Dados fornecidos:
- Para
com raiz exata : - Método da bisseção: depois de 3 iterações
e erro absoluto . - Método das secantes: depois de 2 iterações
e erro relativo . - Método de ponto fixo: não convergiu no intervalo dado.
- Método da bisseção: depois de 3 iterações
O enunciado pergunta:
- Qual método foi mais eficiente em termos de erro? Justifique.
- Por que o método de ponto fixo não convergiu neste intervalo?
Passo 2
O que significa comparar eficiência em termos de erro e que vamos fazer:
- Definições úteis:
- erro absoluto:
; - erro relativo:
.
- erro absoluto:
- Para comparar diretamente vamos converter o erro relativo informado para erro absoluto usando
. - Para isso precisamos de uma aproximação de
suficiente para calcular . Vou achar numericamente com precisão razoável (padrão de prova: algumas casas decimais bastam).
Passo 3
Encontrar
(aproximação) resolvendo
em
.
Avaliações rápidas para localizar e aproximar a raiz:
-
(negativo). -
(positivo).
Logo a raiz está entree .
Refinando por tentativas (só algumas avaliações, mostrando o raciocínio):
-
. -
. -
.
Como
é ligeiramente negativo e
ligeiramente positivo, a raiz está entre esses valores. Tomando uma aproximação com precisão adequada obtemos
(esta aproximação é suficiente para comparar erros dados no enunciado.)
Passo 4
Calcular o erro absoluto do método das secantes a partir do erro relativo informado.
Dado
e
, temos
Já o método da bisseção deu explicitamente
Comparando:
ou seja, o erro absoluto do método das secantes (após 2 iterações) é menor que o erro absoluto do método da bisseção (após 3 iterações). Além disso, as secantes obteve maior precisão com menos iterações.
Passo 5
Interpretação teórica (por que isso era de esperar) — explicando para a prova:
- O método da bisseção tem convergência linear com fator de redução do intervalo de erro igual a
por iteração: após iterações o semi‑intervalo máximo é . É robusto e garante a redução do erro, mas é relativamente lento. - O método das secantes tem convergência superlinear com ordem aproximadamente
(a razão áurea). Isso costuma dar uma redução do erro mais rápida do que a bisseção em poucas iterações quando ele converge bem. - Portanto, observar que as secantes deram menor erro em menos iterações está de acordo com a teoria: secantes tendem a ser mais eficientes (menor erro por iteração) quando funcionam adequadamente.
Conclusão parcial para a pergunta 1: o método das secantes foi mais eficiente em termos de erro porque produziu menor erro absoluto e com menos iterações.
Passo 6
Por que o método de ponto fixo não convergiu (resposta detalhada e didática para a prova).
Princípio de convergência do ponto‑fixo (Banach):
- Para resolver
por ponto fixo escreve‑se e itera‑se . - Uma condição simples que garante convergência local é: existe
tal que para todo em algum intervalo que contenha a raiz. Nesse caso é uma contração e a iteração converge para o ponto fixo.
No problema específico, a razão mais provável para não convergir é que a reformulação
escolhida não gerou uma função
contratante em
. Exemplos concretos mostram isso:
- Uma possível rearranjo é
(vem de ). Temos Em isso vale . Como é maior que perto de , não é uma contração no intervalo e a iteração tende a divergir ou oscilar em vez de convergir. - Outro rearranjo possível é
. Para este Em tem-se , ou seja, é contratante no intervalo e essa escolha tenderia a convergir. - Como o enunciado afirma que o método de ponto fixo não convergiu, isso indica que a forma
utilizada no enunciado era uma forma “má” (como ou outra com em parte do intervalo). Portanto a razão do fracasso é que a condição de contrato ( numa vizinhança da raiz) não foi satisfeita para o escolhido.
Resumindo para a prova: sempre que for usar ponto fixo, verifique antes se existe um
tal que
no intervalo; se não houver, o método pode divergir.
Resposta
- O método das secantes foi mais eficiente em termos de erro: o erro absoluto aproximado de
é , que é menor que o erro absoluto da bisseção ; além disso as secantes obtiveram esse erro em 2 iterações contra 3 da bisseção. - Porque a forma
usada para a iteração de ponto fixo não foi contratante em : isto é, não ficou menor que no intervalo (por exemplo, para tem-se ), então a condição de Banach para convergência por ponto fixo não foi satisfeita.