Dado um número real
, considere
Mostre que
. Conclua que se
, então
. Por fim, usando essa informação, determine o limite da sequência
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (1) provar a identidade
; (2) concluir que, se
, então
; (3) usando isso, determinar o limite da sequência
.\n\nInformações dadas:
,
e\n
Nada mais é pedido nesta etapa além de listar o que foi dado e o que devemos mostrar.
Passo 2
Vamos calcular
explicitamente e ver o que acontece com os termos. Escrevo primeiro
e
:
Subtraindo termo a termo
de
obtemos cancelamentos telescópicos das parcelas intermediárias:
O lado esquerdo é exatamente
, portanto chegamos à identidade desejada:
Passo 3
A partir de
podemos isolar
desde que
(pois não podemos dividir por zero). Fazendo a divisão:
Aqui expliquei as variáveis:
é a primeira parcela da soma geométrica e
é a razão;
é o número de termos. A fórmula acima é a forma fechada da soma dos primeiros
termos de uma progressão geométrica.
Passo 4
Agora usamos a hipótese
. Uma propriedade básica das potências é que, se
, então
(porque sucessivas potências de um número de módulo menor que 1 tendem a zero). Aplicando limite à expressão de
:
Logo, se
, a soma parcial converge para
.
Passo 5
Agora tratamos da sequência
das raízes aninhadas. Defino explicitamente a sequência por recorrência:
e, para
,
Vou encontrar uma forma fechada para
. Note que
e assim por diante. Observamos o padrão: o expoente de
em
é a soma geométrica
Passo 6
Pela observação do passo anterior, podemos escrever
Agora aplicamos a fórmula para soma finita de uma progressão geométrica com
(primeiro termo) e
(razão):
Portanto
Passo 7
Tomando o limite quando
na expressão acima, como
, o expoente tende a
. Assim
Concluímos, usando a soma geométrica que provamos antes, que a sequência das raízes aninhadas converge para
.