Dado os números complexos:
w1=4+7 i, w2=(3 * 5)+8 i, w3=4+7-54 pi i
Calcule e represente no plano complexo:
3 w1-w21+i

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a expressão 3w1 - w21+i usando os números complexos dados:
  • w1 = 4 + 7i
  • w2 = (3 times 5) + 8i = 15 + 8i
  • w3 = 4 + 7-54 pi i = 4 + pi2i
Vamos focar só no que precisamos resolver: a expressão 3w1 - w21+i. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, como operações com eles e a forma de dividir números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular 3w1. Lembre-se que, para multiplicar um número complexo por um número real, multiplicamos tanto a parte real quanto a imaginária pelo número.
3w1 = 3 times (4 + 7i) = 12 + 21i

Passo 3

Agora, vamos calcular 3w1 - w2:
3w1 - w2 = (12 + 21i) - (15 + 8i) = (12 - 15) + (21i - 8i) = -3 + 13i

Passo 4

A próxima etapa é dividir -3 + 13i por 1 + i. Dividir números complexos envolve uma técnica chamada de “racionalizar o denominador”. Para isso, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 1 + i é 1 - i.
-3 + 13i1 + i times 1 - i1 - i = (-3 + 13i)(1 - i)(1 + i)(1 - i)

Passo 5

Vamos calcular o denominador primeiro:
(1 + i)(1 - i) = 1^2 - (i)^2 = 1 - (-1) = 2
Agora, o numerador:
(-3 + 13i)(1 - i) = (-3)(1) + (-3)(-i) + (13i)(1) + (13i)(-i) = -3 + 3i + 13i - 13i^2
Lembrando que i^2 = -1:
-3 + 3i + 13i - 13(-1) = -3 + 16i + 13 = 10 + 16i

Passo 6

Agora, juntando o numerador e o denominador:
10 + 16i2 = 102 + 16i2 = 5 + 8i

Resposta

Portanto, 3w1 - w21+i = 5 + 8i. No plano complexo, esse número é representado pelo ponto com coordenadas (5, 8).

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