Dado os números complexos:
w1=4+7 i, w2=(3 * 5)+8 i, w3=4+7-54 pi i
Calcule e represente no plano complexo:
e^w3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem alguns números complexos dados e precisa calcular $ e^{w_3} $ e mostrar esse resultado no plano complexo. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos e exponenciais complexos. Vamos precisar entender como trabalhar com a forma $ a + bi $ e como calcular exponenciais de números complexos usando fórmulas específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de $ w_3 $. A expressão dada é:
w3
Vamos simplificar isso:
w3 = 4 + 7 - 54 pi i
Então,
7 - 54 = 24 = 0,5
Agora temos $ w_3 $ na forma padrão $ a + bi $, onde $ a = 4 $ e $ b = 0,5\pi $.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ e^{w_3} $. Para números complexos, usamos a fórmula:
e^w3
Aplicando isso ao nosso $ w_3 $:
e^a + bi = e^a (cos b + i sin b)

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  • $ e^{4} $ é apenas a constante exponencial elevada a 4. Aproximadamente, $ e^{4} \approx 54,598 $.
  • $ \cos(0,5\pi) $ e $ \sin(0,5\pi) $:
e^4
e^4 approx 54,598
Então:
cos(0,5pi)

Passo 5

Finalmente, para representar isso no plano complexo, a parte real é 0 e a parte imaginária é aproximadamente 54,598. Então, o ponto correspondente no plano será no eixo imaginário, a uma distância de 54,598 unidades acima da origem.

Resposta

O valor de $ e^{w_{3}} $ é aproximadamente $ 0 + 54,598i $ e está localizado no eixo imaginário do plano complexo, a 54,598 unidades acima da origem.

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