Dado os números complexos:
Calcule e represente no plano complexo:
Calcule e represente no plano complexo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem alguns números complexos dados e precisa calcular $ e^{w_3} $ e mostrar esse resultado no plano complexo. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos e exponenciais complexos. Vamos precisar entender como trabalhar com a forma $ a + bi $ e como calcular exponenciais de números complexos usando fórmulas específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor de $ w_3 $. A expressão dada é:
Vamos simplificar isso:
Então,
Agora temos $ w_3 $ na forma padrão $ a + bi $, onde $ a = 4 $ e $ b = 0,5\pi $.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ e^{w_3} $. Para números complexos, usamos a fórmula:
Aplicando isso ao nosso $ w_3 $:
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
-
$ e^{4} $ é apenas a constante exponencial elevada a 4. Aproximadamente, $ e^{4} \approx 54,598 $.
-
$ \cos(0,5\pi) $ e $ \sin(0,5\pi) $:
Então:
Passo 5
Finalmente, para representar isso no plano complexo, a parte real é 0 e a parte imaginária é aproximadamente 54,598. Então, o ponto correspondente no plano será no eixo imaginário, a uma distância de 54,598 unidades acima da origem.
Resposta
O valor de $ e^{w_{3}} $ é aproximadamente $ 0 + 54,598i $ e está localizado no eixo imaginário do plano complexo, a 54,598 unidades acima da origem.