Encontre a solução das EDOs lineares, por meio do método do fator integrante.
lt^3 y^prime+4 t^2 y=e^-t y(-1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 1.ª ordem
t^3y' + 4t^2y = e^-t, y(-1)=0
Usamos o método do fator integrante: reescrever na forma y' + p(t)y = g(t), achar mu(t)=e^integral p(t)dt, multiplicar, integrar e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Divido a equação por t^3 (supondo tneq0) para ficar na forma padrão:
y' + 4t^2t^3y = e^-tt^3,
ou seja
y' + 4ty = t^-3e^-t

Passo 3

Calculo o fator integrante
mu(t) = e^integral 4tdt = e^4ln|t| = t^4

Passo 4

Multiplico toda a EDO por t^4:
t^4y' + 4t^3y = t^4cdot t^-3e^-t = t e^-t
O lado esquerdo é a derivada de t^4y, ou seja
ddtl(t^4yr) = t e^-t

Passo 5

Integro ambos os lados em relação a t:
integral ddt(t^4y),dt = integral t e^-t,dt
Pela integração por partes em integral t e^-tdt:
integral t e^-tdt = -t e^-t - e^-t + C = - (t+1)e^-t + C
Logo
t^4y = - (t+1)e^-t + C

Passo 6

Aplico a condição inicial y(-1)=0:
(-1)^4y(-1) = -((-1)+1)e^1 + C implies 0 = -0 + C implies C = 0

Resposta

A solução que satisfaz y(-1)=0 é
y(t) = -(t+1)e^-tt^4

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