1. Dado um observador na posição ( 5,2,1 ), olhando para o ponto ( 0,0,0 ) com vetor up (0,1,0), determine os vetores \vec{n}, \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá um observador em (5,2,1), um ponto “look-at” em (0,0,0) e um vetor up (0,1,0). Queremos montar o sistema de coordenadas da câmera, cujos eixos são \vec{n} (direção de visão), \vec{u} (eixo horizontal) e \vec{v} (eixo vertical). Vamos usar normalização de vetores e produto vetorial.

Passo 2

Calcular \vec{n} como vetor unitário que vai de “look-at” até o observador:
\vec{n} \;=\;\frac{E - P}{\|E - P\|},
onde E=(5,2,1) e P=(0,0,0).
E - P = (5,2,1),\qquad \|E - P\| = \sqrt{5^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{30}.
Logo,
\vec{n} = \bigl(\tfrac{5}{\sqrt{30}},\,\tfrac{2}{\sqrt{30}},\,\tfrac{1}{\sqrt{30}}\bigr).

Passo 3

Calcular \vec{u} como vetor unitário perpendicular a \vec{n} e ao vetor up inicial:
\mathbf{up}\times\vec{n} = (0,1,0)\times\bigl(\tfrac{5}{\sqrt{30}},\tfrac{2}{\sqrt{30}},\tfrac{1}{\sqrt{30}}\bigr) = \tfrac{1}{\sqrt{30}}\,(1,0,-5).
A norma de (1,0,-5) é \sqrt{1+0+25}=\sqrt{26}. Então
\vec{u} = \frac{(1,0,-5)}{\sqrt{26}} = \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{26}},\,0,\,-\tfrac{5}{\sqrt{26}}\bigr).

Passo 4

Calcular \vec{v} pelo produto vetorial \vec{n}\times\vec{u}, que já sai unitário:
(5,2,1)\times(1,0,-5) = (-10,\,26,\,-2).
O fator de normalização é \sqrt{30}\,\sqrt{26}=\sqrt{780}. Assim
\vec{v} = \frac{(-10,\,26,\,-2)}{\sqrt{780}} = \bigl(-\tfrac{5}{\sqrt{195}},\,\tfrac{13}{\sqrt{195}},\,-\tfrac{1}{\sqrt{195}}\bigr).

Resposta

\vec{n} = \bigl(\tfrac{5}{\sqrt{30}},\,\tfrac{2}{\sqrt{30}},\,\tfrac{1}{\sqrt{30}}\bigr),\quad \vec{u} = \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{26}},\,0,\,-\tfrac{5}{\sqrt{26}}\bigr),\quad \vec{v} = \bigl(-\tfrac{5}{\sqrt{195}},\,\tfrac{13}{\sqrt{195}},\,-\tfrac{1}{\sqrt{195}}\bigr).

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