Mostre que
exp [-i sigma cdot n theta2]=cos (theta2)-i sigma cdot n sin (theta2)
sendo n um vetor unitário e theta um número real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que expl[-i (sigmacdotn),theta/2r]=cos(theta/2)-i,sigmacdotn,sin(theta/2). O conteúdo aqui é exponencial de operador matricial e propriedades das matrizes de Pauli.

Passo 2

Definimos o operador M=-itheta2(sigmacdotn) e usamos a expansão em série de Taylor:
exp(M)=sumk=0^inftyM^kk!

Passo 3

Mostramos que (sigmacdotn)^2=I, usando
(sigmacdotn)^2=ninj,sigmaisigmaj=ninj(de
pois n é unitário.

Passo 4

Com isso, concluímos que
M^2k=l(-itfractheta2r)^2k(sigmacdotn)^2k=(-1)^kl(tfractheta2r)^2kI,
M^2k+1=(-1)^kl(tfractheta2r)^2k+1(-i)(sigmacdotn)

Passo 5

Substituímos essas potências na série e separamos termos pares e ímpares:
exp(M)=Isumk=0^infty(-1)^k(theta/2)^2k(2k)!-i(sigmacdotn)sumk=0^infty(-1)^k(theta/2)^2k+1(2k+1)!
Reconhecendo as séries de cosseno e seno, obtemos o resultado.

Passo 6

Identificando
sumk=0^infty(-1)^k(theta/2)^2k(2k)!=cos(theta/2), sumk=0^infty(-1)^k(theta/2)^2k+1(2k+1)!=sin(theta/2),
chegamos à forma desejada.

Resposta

expl[-i,tfracsigmacdotn,theta2r]=cosl(tfractheta2r)-i,sigmacdotn,sinl(tfractheta2r).

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