Prove que
Dica: utilize as relações de comutação de matrizes de Pauli e o fato de que
Passo 1
O exercício pede para mostrar que vec{σ}·𝐚 vec{σ}·𝐛 = 𝐚·𝐛 + i vec{σ}·(𝐚×𝐛). Isso recai no conteúdo de álgebra das matrizes de Pauli, mais especificamente no uso das relações de comutação [σ_i,σ_j] e anticomutação {σ_i,σ_j}. Vamos usar também a dica
$$
σ_iσ_j = \tfrac12[σ_i,σ_j] + \tfrac12{σ_i,σ_j}\n$$
Passo 2
Começamos expandindo o produto escalar em índice:
Passo 3
Agora aplicamos a decomposição indicada:
Sabemos pelas propriedades das Pauli que
e
Substituindo, vem
Passo 4
Voltando ao somatório,
O primeiro termo é 𝐚·𝐛 e o segundo é i \u0003vec{σ}·(𝐚×𝐛), pois (𝐚×𝐛)k = ε{ijk}a_i b_j.
Passo 5
PrONTO! Chegamos exatamente em