Prove que
sigma cdot a sigma cdot b=a cdot b+i sigma cdot a times b
Dica: utilize as relações de comutação de matrizes de Pauli e o fato de que
sigmai sigmaj=12[sigmai, sigmaj]+12sigmai, sigmaj

Passo 1

O exercício pede para mostrar que vec{σ}·𝐚 vec{σ}·𝐛 = 𝐚·𝐛 + i vec{σ}·(𝐚×𝐛). Isso recai no conteúdo de álgebra das matrizes de Pauli, mais especificamente no uso das relações de comutação [σ_i,σ_j] e anticomutação {σ_i,σ_j}. Vamos usar também a dica
$$
σ_iσ_j = \tfrac12[σ_i,σ_j] + \tfrac12{σ_i,σ_j}\n$$

Passo 2

Começamos expandindo o produto escalar em índice:

Passo 3

Agora aplicamos a decomposição indicada:
σiσj = tfrac12[σi,σj] + tfrac12σi,σj
Sabemos pelas propriedades das Pauli que
[σi,σj] = 2i,εijk,σk
e
σi,σj = 2,δij
Substituindo, vem
σiσj = δij + i,εijk,σk

Passo 4

Voltando ao somatório,
O primeiro termo é 𝐚·𝐛 e o segundo é i \u0003vec{σ}·(𝐚×𝐛), pois (𝐚×𝐛)k = ε{ijk}a_i b_j.

Passo 5

PrONTO! Chegamos exatamente em

Resposta

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