Dado o operador
:
A) Monte sua representação matricial e verifique se a mesma é Hermitiana.
B) Encontre seus autovalores e autovetores e normalize-os.
C) Podemos usar estes autovetores como uma nova base? Porque?
D) Escreva o operador
na nova base .
E) Mostre que a base é ortonormal.
A) Monte sua representação matricial e verifique se a mesma é Hermitiana.
B) Encontre seus autovalores e autovetores e normalize-os.
C) Podemos usar estes autovetores como uma nova base? Porque?
D) Escreva o operador
E) Mostre que a base é ortonormal.
Passo 1
O enunciado dá o operador
As perguntas são:
A) Montar a representação matricial de (na base
implícita) e verificar se é hermitiana.
B) Encontrar autovalores e autovetores, e normalizá‑los.
C) Dizer se esses autovetores podem formar uma nova base e justificar.
D) Escrever na nova base (representação matricial nessa base).
E) Mostrar que a nova base é ortonormal.
A) Montar a representação matricial de
B) Encontrar autovalores e autovetores, e normalizá‑los.
C) Dizer se esses autovetores podem formar uma nova base e justificar.
D) Escrever
E) Mostrar que a nova base é ortonormal.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão de
em notação de Dirac com projeções e trocadores entre e . - A base original considerada é
(padrão para montar a matriz).
Passo 2
Como montar a matriz de um operador em uma base: as entradas da matriz são
onde
. Vou calcular cada entrada usando o enunciado (aqui peguei os coeficientes diretamente da expressão de
).
Calculemos:
Só os termos que contêm
ou
contribuem. Usando
e
obtemos
Analogamente,
pois o termo
envia
em
e a projeção com
dá
.
Logo a matriz de
na base
é
Verificação de hermiticidade: um operador é hermitiano se a matriz for igual à sua conjugada transposta,
. Aqui os elementos são reais e
é simétrica, portanto
Conclusão:
é hermitiana.]
Passo 3
Encontrar autovalores e autovetores: resolvemos
.
Calcule o polinômio característico:
Expandindo:
Resolvendo
usando fórmula quadrática:
Portanto os autovalores são
Agora os autovetores. Para
resolvemos
:
Isto dá a equação
. Um autovetor (não normalizado) é
.
Para
resolvemos
:
que dá
. Um autovetor (não normalizado) é
.
Normalização: norma de
é
. Norma de
é também
. Assim os autovetores normalizados (em notação de kets) são
Observação didática rápida: resolver autovalores equivale a achar escalas
tais que
. Em matrizes, isso foi feito com
e, em seguida, achar
não nula que satisfaz
.]
Passo 4
Podemos usar esses autovetores como nova base? Sim. Justificativa didática e prática:
- Em
(ou aqui), dois vetores linearmente independentes formam uma base. Os autovetores correspondentes a autovalores distintos são linearmente independentes. Aqui e correspondem a , logo são independentes. - Além disso,
é hermitiano; pelo teorema espectral, autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais e podem ser tomados normalizados — portanto formam uma base ortonormal completa do espaço.
Conclusão: sim,é uma nova base (de fato ortonormal) de .
Passo 5
Escrever
na nova base. Há duas formas úteis: (i) decomposição espectral e (ii) mudança de base explicitando a matriz diagonal.
(i) Decomposição espectral (fórmula geral para operador hermitiano):
Substituindo
obtemos
(ii) Representação matricial na base
: criar a matriz de mudança de base
cujas colunas são os vetores
escritos na base
. Assim
A matriz de
na nova base é
. Como
é real e ortogonal (na verdade
), podemos calcular diretamente (fiz as contas explícitas):
Isto confirma a decomposição espectral: na base de autovetores a matriz de
é diagonal com os autovalores na diagonal.]
Passo 6
Mostrar que a base é ortonormal — verificar produtos internos:
Compute
Portanto
: os vetores são mutuamente ortogonais e normalizados — ou seja, ortonormais.
(Ufa! Já era — tranquilo: temos autovalores, autovetores normalizados, base nova ortonormal, e
diagonal nessa base.)]
Resposta
A)
. Sim,
é hermitiana.
B) Autovalores
,
.
Autovetores normalizados:
Autovetores normalizados:
C) Sim. Porque são dois vetores linearmente independentes em
; sendo autovetores de operador hermitiano com autovalores distintos, são ortogonais e podem formar uma base completa.
D) Na nova base de autovetores a matriz de
é diagonal:
ou, em forma de operador,
E) Sim — a base é ortonormal:
(verificado explicitamente:
,
,
).]