(3,4 pontos) Que massa de gelo, no ponto de fusão, deve ser misturada a 120 g de vapor a 100^{\circ} \mathrm{C}, em um recipiente isolado termicamente, para produzir água a 50,0^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado pede: “Que massa de gelo, no ponto de fusão, deve ser misturada a 120\\ \mathrm{g} de vapor a 100^\circ\mathrm{C}, em recipiente isolado, para produzir água a 50{,}0^\circ\mathrm{C} ?”
Informações e dados relevantes (retirados do enunciado e constantes físicas usuais que usarei):
  • Massa de vapor: m_{\text{v}} = 120\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial do vapor: 100^\circ\mathrm{C}.
  • O gelo está “no ponto de fusão”, ou seja, gelo a 0^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final desejada da mistura: 50{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Constantes físicas adotadas (valores típicos):
    • Calor latente de vaporização da água a 100^\circ\mathrm{C}: L_{\text{v}} = 2260\\ \mathrm{J/g}.
    • Calor latente de fusão do gelo: L_{\text{f}} = 334\\ \mathrm{J/g}.
    • Calor específico da água líquida: c = 4{,}18\\ \mathrm{J/(g\,^\circ C)}.
  • O sistema é termicamente isolado → aplica-se conservação de energia (o calor cedido pelo vapor e pela água quente será absorvido pelo gelo e pela água resultante do gelo).
    O que se pede: calcular a massa do gelo m_{\text{g}} necessária.

Passo 2

Princípio físico usado (aula prática rápida): conservação de energia térmica.
Em um recipiente isolado, a soma dos calores trocados é zero. Escrevendo em palavras:
  • Calor liberado pelo vapor quando condensa (passa de vapor a água a 100^\circ\mathrm{C}) e depois quando essa água se resfria de 100^\circ\mathrm{C} para 50^\circ\mathrm{C} é igual ao calor absorvido pelo gelo para fundir (de gelo a água a 0^\circ\mathrm{C}) e depois aquecer essa água de 0^\circ\mathrm{C} até 50^\circ\mathrm{C}.
Em fórmula:
\text{Calor cedido pelo vapor} = \text{Calor absorvido pelo gelo}.

Passo 3

Calor cedido por cada grama de vapor: tem duas partes:
  1. condensação do vapor a 100^\circ\mathrm{C}: libera L_{\text{v}} por grama;
  2. resfriamento da água formada de 100^\circ\mathrm{C} até 50^\circ\mathrm{C}: libera c\,(100-50) por grama.
Logo o calor cedido por 1\\ \mathrm{g} de vapor é
q_{\text{v,1g}} = L_{\text{v}} + c\,(100-50).
Substituindo os valores:
q_{\text{v,1g}} = 2260 + 4{,}18\cdot 50.
Calculemos 4{,}18\cdot 50:
4{,}18\cdot 50 = 209{,}0\\ \mathrm{J}.
Portanto
q_{\text{v,1g}} = 2260 + 209{,}0 = 2469{,}0\\ \mathrm{J/g}.
Calor total cedido pelo vapor de massa m_{\text{v}}=120\\ \mathrm{g}:
Q_{\text{cedido}} = m_{\text{v}}\;q_{\text{v,1g}} = 120\cdot 2469{,}0.
Multiplicando:
Q_{\text{cedido}} = 296\,280\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calor absorvido por cada grama de gelo (gelo à 0^\circ\mathrm{C} que vira água e aquece até 50^\circ\mathrm{C}): também duas partes:
  1. fusão do gelo: absorve L_{\text{f}} por grama;
  2. aquecimento da água resultante de 0^\circ\mathrm{C} até 50^\circ\mathrm{C}: absorve c\,(50-0) por grama.
Então o calor absorvido por 1\\ \mathrm{g} de gelo é
q_{\text{g,1g}} = L_{\text{f}} + c\cdot 50.
Substituindo valores:
q_{\text{g,1g}} = 334 + 4{,}18\cdot 50.
Já calculamos 4{,}18\cdot 50 = 209{,}0\\ \mathrm{J}, logo
q_{\text{g,1g}} = 334 + 209{,}0 = 543{,}0\\ \mathrm{J/g}.
Se a massa de gelo necessária é m_{\text{g}} (em gramas), o calor total absorvido é
Q_{\text{absorvido}} = m_{\text{g}}\;q_{\text{g,1g}} = m_{\text{g}}\cdot 543{,}0.

Passo 5

Agora aplicamos conservação de energia:
Q_{\text{cedido}} = Q_{\text{absorvido}}.
Substituindo os valores:
296\,280 = m_{\text{g}}\cdot 543{,}0.
Isolando m_{\text{g}}:
m_{\text{g}} = \frac{296\,280}{543{,}0}.
Faço a divisão passo a passo (divisão longa aproximada):
543\cdot 545 = 295\,935, \qquad 543\cdot 546 = 296\,478.
O valor procurado está entre 545 e 546. Calculando com mais precisão:
m_{\text{g}} \approx 545 + \frac{296\,280-295\,935}{543} = 545 + \frac{345}{543} \approx 545 + 0{,}635 \approx 545{,}635\\ \mathrm{g}.
Arredondando com razoável número de algarismos significativos (os dados dão três algarismos em 120\\ \mathrm{g} e 50{,}0^\circ\mathrm{C}), fica:
m_{\text{g}} \approx 546\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Breve verificação rápida: multiplicando 546\cdot 543 \approx 296\,478\\ \mathrm{J}, muito próximo dos 296\,280\\ \mathrm{J} cedidos — sinal de consistência.

Resposta

m_{\text{g}} \approx 546\\ \mathrm{g}

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