Mostre que a condição de normalização \langle\psi \mid \psi\rangle=1, implica em \int \psi^{*}(x) \psi(x) d x=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a condição de normalização
\langle\psi\mid\psi\rangle=1
implica
\int \psi^{*}(x)\,\psi(x)\,dx=1.
Informações relevantes dadas ou necessárias:
  • \mid\psi\rangle é um vetor de estado no espaço de Hilbert (função de onda).
  • \langle\psi\mid\psi\rangle é o produto interno (norma ao quadrado) desse vetor.
  • \psi(x) será a representação de \mid\psi\rangle na base de posição (ou seja, \psi(x)=\langle x\mid\psi\rangle).
  • A base de posição satisfaz a relação de completude e ortonormalidade com delta de Dirac (veremos isso nos passos seguintes).

Passo 2

Definições e propriedades básicas que vamos usar (explicadas com calma):
  • A função de onda em posição é definida por
\psi(x)=\langle x\mid\psi\rangle.
Isto significa que \psi(x) é o “componente” do vetor \mid\psi\rangle na direção do autoestado \mid x\rangle.
  • O complexo conjugado dessa amplitude é
\psi^{*}(x)=\langle\psi\mid x\rangle,
porque o produto interno troca os lugares e complexamente conjugue.
  • O produto interno tem a propriedade de ser linear na componente da direita e conjugado-linear na componente da esquerda; aqui usaremos apenas que \langle\psi\mid x\rangle\langle x\mid\psi\rangle é um número complexo (produto de escalares).

Passo 3

Propriedades da base de posição (essas são propriedades padrão em mecânica quântica / análise funcional):
  • Completude (resolução da identidade):
\int \mid x\rangle\langle x\mid\,dx=\hat{I},
onde \hat{I} é o operador identidade (isto significa que qualquer vetor pode ser reconstruído somando suas projeções na base \{\mid x\rangle\}).
  • Ortonormalidade no sentido contínuo:
\langle x\mid x'\rangle=\delta(x-x'),
onde \delta é a delta de Dirac. A propriedade essencial da delta é a “propriedade de amostragem”:
\int f(x')\,\delta(x-x')\,dx'=f(x)
para qualquer função apropriada f. A delta não é uma função comum, mas uma distribuição; para nossos cálculos formais ela permite “colapsar” integrais duplas.

Passo 4

Agora inserimos a identidade entre \langle\psi\mid e \mid\psi\rangle. Isto é uma técnica padrão para passar de um produto interno abstrato para uma representação explícita em alguma base:
\langle\psi\mid\psi\rangle=\langle\psi\mid\hat{I}\mid\psi\rangle.
Usando a resolução da identidade na base de posição obtemos
\langle\psi\mid\psi\rangle=\langle\psi\mid\left(\int \mid x\rangle\langle x\mid\,dx\right)\mid\psi\rangle.
Como integrais e produtos internos podem ser permutados neste contexto, isso dá
\langle\psi\mid\psi\rangle=\int \langle\psi\mid x\rangle\langle x\mid\psi\rangle\,dx.

Passo 5

Substituímos as definições das amplitudes em posição:
\langle\psi\mid x\rangle=\psi^{*}(x) \qquad\text{e}\qquad \langle x\mid\psi\rangle=\psi(x).
Então a expressão do passo anterior fica
\langle\psi\mid\psi\rangle=\int \psi^{*}(x)\,\psi(x)\,dx.
Isto mostra que o produto interno da notação abstrata corresponde justamente à integral do módulo ao quadrado da função de onda.

Passo 6

Concluindo: se a condição de normalização é \langle\psi\mid\psi\rangle=1, substituindo a igualdade encontrada acima obtemos
\int \psi^{*}(x)\,\psi(x)\,dx=1.
Interpretação física rápida e amigável: \psi^{*}(x)\psi(x)=|\psi(x)|^{2} é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em x, e a integral sobre todo o espaço deve dar 1 porque alguma posição deve ocorrer com probabilidade total unitária.

Resposta

\int \psi^{*}(x)\,\psi(x)\,dx=1

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