Mostre que a condição de normalização
, implica em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a condição de normalização
implica
Informações relevantes dadas ou necessárias:
-
é um vetor de estado no espaço de Hilbert (função de onda). -
é o produto interno (norma ao quadrado) desse vetor. -
será a representação de na base de posição (ou seja, ). - A base de posição satisfaz a relação de completude e ortonormalidade com delta de Dirac (veremos isso nos passos seguintes).
Passo 2
Definições e propriedades básicas que vamos usar (explicadas com calma):
- A função de onda em posição é definida por
Isto significa que
é o “componente” do vetor
na direção do autoestado
.
- O complexo conjugado dessa amplitude é
porque o produto interno troca os lugares e complexamente conjugue.
- O produto interno tem a propriedade de ser linear na componente da direita e conjugado-linear na componente da esquerda; aqui usaremos apenas que
é um número complexo (produto de escalares).
Passo 3
Propriedades da base de posição (essas são propriedades padrão em mecânica quântica / análise funcional):
- Completude (resolução da identidade):
onde
é o operador identidade (isto significa que qualquer vetor pode ser reconstruído somando suas projeções na base
).
- Ortonormalidade no sentido contínuo:
onde
é a delta de Dirac. A propriedade essencial da delta é a “propriedade de amostragem”:
para qualquer função apropriada
. A delta não é uma função comum, mas uma distribuição; para nossos cálculos formais ela permite “colapsar” integrais duplas.
Passo 4
Agora inserimos a identidade entre
e
. Isto é uma técnica padrão para passar de um produto interno abstrato para uma representação explícita em alguma base:
Usando a resolução da identidade na base de posição obtemos
Como integrais e produtos internos podem ser permutados neste contexto, isso dá
Passo 5
Substituímos as definições das amplitudes em posição:
Então a expressão do passo anterior fica
Isto mostra que o produto interno da notação abstrata corresponde justamente à integral do módulo ao quadrado da função de onda.
Passo 6
Concluindo: se a condição de normalização é
, substituindo a igualdade encontrada acima obtemos
Interpretação física rápida e amigável:
é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em
, e a integral sobre todo o espaço deve dar
porque alguma posição deve ocorrer com probabilidade total unitária.