Seja a expansão de um ket em uma base continua |f\rangle=\int \tilde{d x} f(x)|x\rangle mostre que o coeficiente da expansão f(x)=\langle x \mid f\rangle.
Passo 1
O enunciado nos dá a expansão de um ket em uma base contínua:
|f\rangle=\int \tilde{d x}\; f(x)\,|x\rangle.
A tarefa é mostrar que o coeficiente da expansão é dado por
f(x)=\langle x\mid f\rangle.
Informações relevantes (que vamos usar e que são parte do cenário correto da questão):
A família |x\rangle é uma base contínua que satisfaz a relação de completude (resolução da identidade)
Os vetores da base são ortonormais no sentido contínuo, isto é, o produto interno entre dois elementos da base é a delta de Dirac:
\langle x\mid x'\rangle=\delta(x-x').
A medida \tilde{d x} é a medida apropriada do espaço (pode ser simplesmente dx ou incluir fatores de peso; mantemos a notação genérica \tilde{d x}).
Esses itens são necessários para interpretar corretamente a expansão e para projetar o ket sobre um elemento da base.
Passo 2
Antes de entrar na prova para a base contínua, é útil lembrar a analogia com o caso discreto (escola primária da intuição): se em um espaço finito tivermos uma base ortonormal \{|e_i\rangle\} e um vetor |v\rangle=\sum_i c_i |e_i\rangle, então para encontrar o coeficiente c_j basta fazer a projeção com \langle e_j|:
Ou seja, tomar o produto interno com a base “seleciona” o coeficiente correspondente. Essa é a ideia que vamos transferir para o caso contínuo, trocando soma por integral e delta de Kronecker por delta de Dirac.
Passo 3
Agora aplicamos a mesma operação no caso contínuo: tomamos o bra \langle x| e aplicamos à expansão dada. Usamos linearidade do produto interno para puxar o bra para dentro da integral:
Aplicamos a propriedade fundamental da delta de Dirac (a propriedade de amostragem), que diz que para uma função adequada g,
\int \tilde{d x'}\; g(x')\,\delta(x-x') = g(x).
Tomando g(x')=f(x') obtemos
\langle x\mid f\rangle = f(x).
Isso demonstra exatamente que o coeficiente da expansão é o produto interno \langle x\mid f\rangle.
Passo 6
Comentários didáticos e observações úteis para a prova:
A demonstração é a versão contínua do procedimento padrão em espaços finitos: projetar o vetor sobre uma base obtém o coeficiente correspondente.
Atenção à medida \tilde{d x}: se a normalização da base for diferente (por exemplo \langle x|x'\rangle = w(x)^{-1}\delta(x-x') ou se a resolução da identidade envolver um fator w(x)), então a expressão concreta para o coeficiente muda e é preciso usar a forma correta da resolução da identidade. No entanto, com as hipóteses padrão \mathbb{I}=\int \tilde{d x}\,|x\rangle\langle x| e \langle x|x'\rangle=\delta(x-x'), o resultado acima vale.
Em mecânica quântica: f(x) é a função de onda de |f\rangle na representação x. Saber projetar é uma operação que cai sempre bem na prova — é rápida e direta.