Dado o operador linear
, determine o operador invertível
F(x, y)=(2 \mathrm{x},-\mathrm{y})
F(x, y)=(2 \mathrm{x},-\mathrm{y})
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
definido por
O que a questão pede: determinar o operador inverso
, ou seja, dada uma entrada
(no contradomínio), encontrar
(um vetor em
) tal que
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Primeiro vamos representar
pela sua matriz na base canônica. A base canônica de
é
e
. Calculamos as imagens desses vetores:
A matriz
de
na base canônica tem como colunas
e
. Logo
Aqui cada entrada de
é um número real que descreve como
age sobre as coordenadas.]
Passo 3
Para sabermos se
é invertível (isto é, se existe
), verificamos se a matriz
é inversível. Uma condição simples para matrizes
é que o determinante seja diferente de zero. O determinante de
é
. No nosso caso:
Como
, a matriz
é inversível e, portanto,
é invertível. Isso garante que existe um operador linear
tal que
representa
.]
Passo 4
Agora calculamos explicitamente a inversa de
. Observação útil e prática:
é uma matriz diagonal (ou quase diagonal), com elementos diagonais
e
. Para uma matriz diagonal
a inversa é
desde que
e
. Aplicando isso a
obtemos
Verificação rápida: multiplicando
por
dá a identidade
Passo 5
Finalmente, a ação de
sobre um vetor
é dada por multiplicar
por esse vetor. Ou, escrevendo diretamente o efeito nas coordenadas: se
é o vetor tal que
, então
Resolvendo esse sistema para
e
obtemos
Portanto
Exemplo rápido para fixar:
. Aplicando a inversa
, voltamos ao vetor original — ótimo sinal de que está certo!