Dado o operador linear \mathrm{F}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, determine o operador invertível \mathrm{F}^{-1}(x, y)
F(x, y)=(2 \mathrm{x},-\mathrm{y})

Passo 1

O enunciado dá o operador linear \mathrm{F}: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definido por
\mathrm{F}(x,y)=(2x,-y).
O que a questão pede: determinar o operador inverso \mathrm{F}^{-1}, ou seja, dada uma entrada (x,y) (no contradomínio), encontrar \mathrm{F}^{-1}(x,y) (um vetor em \mathbb{R}^{2}) tal que
\mathrm{F}\big(\mathrm{F}^{-1}(x,y)\big)=(x,y).
Informações relevantes fornecidas:
\text{para todo }(x,y)\in\mathbb{R}^{2},\quad \mathrm{F}(x,y)=(2x,-y).

Passo 2

Primeiro vamos representar \mathrm{F} pela sua matriz na base canônica. A base canônica de \mathbb{R}^{2} é \,e_{1}=(1,0) e e_{2}=(0,1). Calculamos as imagens desses vetores:
\mathrm{F}(e_{1})=\mathrm{F}(1,0)=(2\cdot 1,-0)=(2,0),
\mathrm{F}(e_{2})=\mathrm{F}(0,1)=(2\cdot 0,-1)=(0,-1).
A matriz \,A de \mathrm{F} na base canônica tem como colunas \mathrm{F}(e_{1}) e \mathrm{F}(e_{2}). Logo
A=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
Aqui cada entrada de A é um número real que descreve como \mathrm{F} age sobre as coordenadas.]

Passo 3

Para sabermos se \mathrm{F} é invertível (isto é, se existe \mathrm{F}^{-1}), verificamos se a matriz A é inversível. Uma condição simples para matrizes 2\times 2 é que o determinante seja diferente de zero. O determinante de
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}
é \det(A)=ad-bc. No nosso caso:
\det(A)=2\cdot(-1)-0\cdot 0=-2.
Como \det(A)=-2\neq 0, a matriz A é inversível e, portanto, \mathrm{F} é invertível. Isso garante que existe um operador linear \mathrm{F}^{-1} tal que A^{-1} representa \mathrm{F}^{-1}.]

Passo 4

Agora calculamos explicitamente a inversa de A. Observação útil e prática: A é uma matriz diagonal (ou quase diagonal), com elementos diagonais 2 e -1. Para uma matriz diagonal
\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt]0 & b\end{pmatrix}
a inversa é
\begin{pmatrix}1/a & 0\\[4pt]0 & 1/b\end{pmatrix},
desde que a\neq 0 e b\neq 0. Aplicando isso a A obtemos
A^{-1}=\begin{pmatrix}1/2 & 0\\[4pt]0 & 1/(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/2 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
Verificação rápida: multiplicando A por A^{-1} dá a identidade
\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1/2 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Finalmente, a ação de \mathrm{F}^{-1} sobre um vetor (x,y) é dada por multiplicar A^{-1} por esse vetor. Ou, escrevendo diretamente o efeito nas coordenadas: se (u,v) é o vetor tal que \mathrm{F}(u,v)=(x,y), então
(2u,-v)=(x,y).
Resolvendo esse sistema para u e v obtemos
u=\frac{x}{2},\qquad v=-y.
Portanto
\mathrm{F}^{-1}(x,y)=\left(\frac{x}{2},-y\right).
Exemplo rápido para fixar: \mathrm{F}(3,4)=(6,-4). Aplicando a inversa \mathrm{F}^{-1}(6,-4)=\big(6/2,-(-4)\big)=(3,4), voltamos ao vetor original — ótimo sinal de que está certo!

Resposta

\mathrm{F}^{-1}(x,y)=\left(\dfrac{x}{2},-y\right)

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