Dado o operador linear \mathrm{F}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, determine o operador invertível \mathrm{F}^{-1}(x, y)
F(x, y)=(4 \mathrm{x}-3 \mathrm{y},-2 \mathrm{x}+2 \mathrm{y})

Passo 1

O enunciado pede para determinar o operador inverso \mathrm{F}^{-1} do operador linear \mathrm{F}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dado por
\mathrm{F}(x,y)=(4x-3y,\,-2x+2y).
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{Para todo }(x,y)\in\mathbb{R}^2,\quad \mathrm{F}(x,y)=(4x-3y,\,-2x+2y).
A tarefa é encontrar uma expressão explícita para \mathrm{F}^{-1}(x,y), isto é, dada uma imagem (u,v)=\mathrm{F}(x,y), achar (x,y) em função de (u,v).

Passo 2

Vamos representar \mathrm{F} pela matriz A relativa à base canônica. Se escrevemos vetores coluna (x,y)^\top, então
A=\begin{pmatrix}4 & -3\\[4pt] -2 & 2\end{pmatrix},
pois multiplicando A por \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix} obtemos exatamente \begin{pmatrix}4x-3y\\[2pt] -2x+2y\end{pmatrix}. Explicando: a primeira coluna de A é \mathrm{F}(1,0) e a segunda coluna é \mathrm{F}(0,1).]

Passo 3

Para saber se A é invertível usamos o determinante. Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é
\det = ad-bc.
Aqui identificamos a=4, b=-3, c=-2, d=2. Calculamos:
\det(A)=4\cdot 2 - (-3)\cdot(-2)=8-6=2.
Como \det(A)=2\neq 0, a matriz A (e portanto o operador \mathrm{F}) é invertível.]

Passo 4

A fórmula padrão (útil e rápida na prova) para a inversa de uma matriz 2\times2 é
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Explicando a fórmula: trocamos a e d, colocamos sinais opostos em b e c e dividimos tudo pelo determinante ad-bc. Essa matriz resultante é chamada de adjunta dividida pelo determinante.]

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso A com a=4, b=-3, c=-2, d=2, obtemos primeiro a matriz adjunta:
\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -(-3)\\[4pt] -(-2) & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
Agora dividimos pelo determinante 2:
A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & \tfrac{3}{2}\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretando a matriz inversa como operador, para uma entrada (u,v)\in\mathbb{R}^2 temos
\mathrm{F}^{-1}(u,v)=A^{-1}\begin{pmatrix}u\\[2pt] v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & \tfrac{3}{2}\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\\[2pt] v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}u+\tfrac{3}{2}v\\[6pt] u+2v\end{pmatrix}.
Ou seja, escrevendo novamente com variáveis (x,y) como entrada do inverso,
\mathrm{F}^{-1}(x,y)=\bigl(x+\tfrac{3}{2}y,\;x+2y\bigr).
Explicando: se (x,y) é a imagem \mathrm{F}(p,q), então (p,q)=\mathrm{F}^{-1}(x,y) e as fórmulas acima dão p e q em função de x e y.]

Passo 7

Vamos checar com um exemplo rápido só pra não dormir no ponto: tome (p,q)=(1,0). Então
\mathrm{F}(1,0)=(4,-2).
Aplicando \mathrm{F}^{-1} a (4,-2) pela fórmula:
\mathrm{F}^{-1}(4,-2)=\bigl(4+\tfrac{3}{2}(-2),\;4+2(-2)\bigr)=(4-3,\;4-4)=(1,0),
funcionou certinho — bom sinal!

Resposta

\mathrm{F}^{-1}(x,y)=\bigl(x+\tfrac{3}{2}y,\;x+2y\bigr)

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