Dado o operador linear
, determine o operador invertível
F(x, y)=(4 \mathrm{x}-3 \mathrm{y},-2 \mathrm{x}+2 \mathrm{y})
F(x, y)=(4 \mathrm{x}-3 \mathrm{y},-2 \mathrm{x}+2 \mathrm{y})
Passo 1
O enunciado pede para determinar o operador inverso
do operador linear
dado por
Informações relevantes que o enunciado dá:
A tarefa é encontrar uma expressão explícita para
, isto é, dada uma imagem
, achar
em função de
.
Passo 2
Vamos representar
pela matriz
relativa à base canônica. Se escrevemos vetores coluna
, então
pois multiplicando
por
obtemos exatamente
. Explicando: a primeira coluna de
é
e a segunda coluna é
.]
Passo 3
Para saber se
é invertível usamos o determinante. Para uma matriz
o determinante é
Aqui identificamos
,
,
,
. Calculamos:
Como
, a matriz
(e portanto o operador
) é invertível.]
Passo 4
A fórmula padrão (útil e rápida na prova) para a inversa de uma matriz
é
Explicando a fórmula: trocamos
e
, colocamos sinais opostos em
e
e dividimos tudo pelo determinante
. Essa matriz resultante é chamada de adjunta dividida pelo determinante.]
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso
com
,
,
,
, obtemos primeiro a matriz adjunta:
Agora dividimos pelo determinante
:
Passo 6
Interpretando a matriz inversa como operador, para uma entrada
temos
Ou seja, escrevendo novamente com variáveis
como entrada do inverso,
Explicando: se
é a imagem
, então
e as fórmulas acima dão
e
em função de
e
.]
Passo 7
Vamos checar com um exemplo rápido só pra não dormir no ponto: tome
. Então
Aplicando
a
pela fórmula:
funcionou certinho — bom sinal!