Sejam
e
operadores lineares em
definidos por
e
. Determine
Passo 1
O enunciado dá dois operadores lineares em
e pede a composição
. As informações fornecidas são:
A pergunta é: qual é o operador
, ou seja, qual a função que associa a cada
o vetor
?
Passo 2
Lembrete sobre composição de operadores: para dois operadores
e
, a composição
é definida por
para todo vetor
. Então, para encontrar
basta calcular
e depois aplicar
ao resultado.
Passo 3
Aplicamos primeiro
ao vetor genérico
. Pelo enunciado:
Isto já nos dá a imagem de
por
.
Passo 4
Agora aplicamos
ao vetor obtido em
. Pelo enunciado
é a aplicação identidade em coordenadas:
Substituindo
temos
Passo 5
Portanto, para qualquer
obtemos
Isto descreve completamente o operador
: ele envia
para
.
Passo 6
(Mais uma verificação matricial, caso seja útil na prova.) Na base canônica, a matriz de
é a identidade
e a matriz de
é
pois
e
. A matriz de
é o produto das matrizes de
e
:
que é exatamente a matriz de
. Isso confirma que
.]
Passo 7
Pequena observação final para te motivar: como
é a aplicação identidade, faz sentido que compor
depois de
não altere o efeito de
. O operador
é a projeção sobre o eixo
(anula a coordenada
). Boa — você já tem a resposta e duas formas de justificá-la (direta por ação e por matrizes).