Sejam F e G operadores lineares em \mathbb{R}^{2} definidos por F(x, y)=(x, y) e G(x, y)=(0, y). Determine
F o G

Passo 1

O enunciado dá dois operadores lineares em \mathbb{R}^{2} e pede a composição F\circ G. As informações fornecidas são:
F(x,y) = (x,y)
G(x,y) = (0,y)
A pergunta é: qual é o operador F\circ G, ou seja, qual a função que associa a cada (x,y)\in\mathbb{R}^2 o vetor (F\circ G)(x,y)?

Passo 2

Lembrete sobre composição de operadores: para dois operadores F e G, a composição F\circ G é definida por
(F\circ G)(v)=F\big(G(v)\big)
para todo vetor v. Então, para encontrar F\circ G basta calcular G(x,y) e depois aplicar F ao resultado.

Passo 3

Aplicamos primeiro G ao vetor genérico (x,y). Pelo enunciado:
G(x,y)=(0,y).
Isto já nos dá a imagem de (x,y) por G.

Passo 4

Agora aplicamos F ao vetor obtido em G(x,y). Pelo enunciado F é a aplicação identidade em coordenadas:
F(u,v)=(u,v)\quad\text{para todo \((u,v)\).}
Substituindo (u,v)=(0,y) temos
F\big(G(x,y)\big)=F(0,y)=(0,y).

Passo 5

Portanto, para qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^2 obtemos
(F\circ G)(x,y)=(0,y).
Isto descreve completamente o operador F\circ G: ele envia (x,y) para (0,y).

Passo 6

(Mais uma verificação matricial, caso seja útil na prova.) Na base canônica, a matriz de F é a identidade
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}
e a matriz de G é
\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
pois G(1,0)=(0,0) e G(0,1)=(0,1). A matriz de F\circ G é o produto das matrizes de F e G:
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
que é exatamente a matriz de G. Isso confirma que F\circ G=G.]

Passo 7

Pequena observação final para te motivar: como F é a aplicação identidade, faz sentido que compor F depois de G não altere o efeito de G. O operador G é a projeção sobre o eixo y (anula a coordenada x). Boa — você já tem a resposta e duas formas de justificá-la (direta por ação e por matrizes).

Resposta

(F\circ G)(x,y)=(0,y) para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2.

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