Dado |g(x)-2| <= 3(x-1)^2 para todo x, use o Teorema do Confronto para encontrar o lim x 1 g(x).

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a desigualdade |g(x)-2| <= 3(x-1)^2 válida para todo x. O conteúdo aqui é o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) para limites, e vamos precisar mostrar que g(x) fica “espremido” em torno de 2 quando x se aproxima de 1.

Passo 2

A partir de |g(x)-2| <= 3(x-1)^2, podemos escrever a desigualdade equivalente em forma de dupla desigualdade:
-3(x-1)^2 <= g(x)-2 <= 3(x-1)^2

Passo 3

Analisamos o comportamento de cada termo das extremidades quando x to 1. Como (x-1)^2 to 0, segue que
-3(x-1)^2 to 0 e 3(x-1)^2 to 0

Passo 4

Pela Teorema do Confronto, se g(x)-2 está entre duas funções que tendem a 0, então limxto1 (g(x)-2)=0.
Finalmente, concluímos que
limxto1 g(x)-2 = 0

Resposta

2

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