Dado que p, 2 p+1 e 4 p+1 são números primos, determine o primo p.
(Dica: Encontre os restos das divisões por 3.)

Passo 1

O enunciado pede para achar um número primo p tal que p, 2p+1 e 4p+1 sejam todos primos. Vamos usar aritmética modular, em particular restos de divisão por 3, para descobrir restrições em p.

Passo 2

Note que, para qualquer inteiro p, só existem três classes modulares em relação a 3:
pequiv 0,;1 ou 2pmod3
Em cada caso, vamos verificar se algum dos números 2p+1 ou 4p+1 fica múltiplo de 3, o que impediria ser primo (a não ser que seja exatamente 3).

Passo 3

Suponha pequiv1pmod3. Então
2p+1equiv2cdot1+1=3equiv0pmod3,
ou seja, 2p+1 seria múltiplo de 3. Para ser primo precisaria ser exatamente 3, isto é 2p+1=3Rightarrow p=1, mas 1 não é primo. Logo não há solução neste caso.

Passo 4

Suponha pequiv2pmod3. Então
4p+1equiv4cdot2+1=9equiv0pmod3,
ou seja, 4p+1 seria múltiplo de 3. Para ser primo precisaria ser exatamente 3, isto é 4p+1=3Rightarrow p=tfrac12, o que não é inteiro. Logo nenhum primo nesta classe.

Passo 5

Sobrou a classe pequiv0pmod3. Como p é primo, a única possibilidade é
p=3
Verificando, 2p+1=7 e 4p+1=13 são de fato primos.

Resposta

p=3

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