Dado que
e
são números primos, determine o primo
.
(Dica: Encontre os restos das divisões por 3.)
(Dica: Encontre os restos das divisões por 3.)
Passo 1
O enunciado pede para achar um número primo
tal que
,
e
sejam todos primos. Vamos usar aritmética modular, em particular restos de divisão por 3, para descobrir restrições em
.
Passo 2
Note que, para qualquer inteiro
, só existem três classes modulares em relação a 3:
Em cada caso, vamos verificar se algum dos números
ou
fica múltiplo de 3, o que impediria ser primo (a não ser que seja exatamente 3).
Passo 3
Suponha
. Então
ou seja,
seria múltiplo de 3. Para ser primo precisaria ser exatamente 3, isto é
, mas
não é primo. Logo não há solução neste caso.
Passo 4
Suponha
. Então
ou seja,
seria múltiplo de 3. Para ser primo precisaria ser exatamente 3, isto é
, o que não é inteiro. Logo nenhum primo nesta classe.
Passo 5
Sobrou a classe
. Como
é primo, a única possibilidade é
Verificando,
e
são de fato primos.