Suponha que p e p^2+2 sejam números primos. Prove que p^3+2 também é um número primo.

Passo 1

O enunciado diz: “Suponha que p e p^2+2 sejam números primos. Prove que p^3+2 também é primo.”
Aqui vamos usar aritmética modular para mostrar que a única possibilidade é p=3, e então verificar que 3^3+2=29 é primo.

Passo 2

Se p>3 é primo, então p não é múltiplo de 3, logo pequiv1pmod3 ou pequiv2pmod3. Em ambos os casos
p^2equiv1pmod3
e portanto
p^2+2equiv1+2equiv0pmod3
Isso mostra que, para p>3, o número p^2+2 é divisível por 3 e, sendo maior que 3, não pode ser primo. Logo a hipótese “ p^2+2 é primo” obriga p a não ser maior que 3. Como p é primo, só resta p=2 ou p=3. Mas se p=2 temos p^2+2=6, que não é primo. Logo a única opção é
p=3

Passo 3

Substituindo p=3 em p^3+2, vem
p^3+2 = 3^3+2 = 27 + 2 = 29,
e 29 é conhecido como número primo.

Resposta

Portanto, p^3+2 = 29, que de fato é primo.

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