Prove que se
for divisível por
, então
é um número primo.
Passo 1
O enunciado diz que, dado um inteiro
, se
então devemos provar que
é primo.
O conteúdo que vamos usar é aritmética modular e o fato de que, em um fatorial , aparecem todos os inteiros de
até
.
O conteúdo que vamos usar é aritmética modular e o fato de que, em um fatorial
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
não seja primo, ou seja, seja composto. Então existe um divisor próprio
de
tal que
e
. Como
está entre
e
, ele aparece como fator em
Logo
ou seja,
Passo 3
Pela hipótese temos
. Como
, então também deveríamos ter
Mas de
segue
ou seja,
não divide
. Isso contradiz o fato de que
divide
e, portanto, deveria dividir qualquer múltiplo de
.
Passo 4
A contradição mostra que nossa suposição “
é composto” é impossível. Portanto, sob a condição
, o inteiro
não pode ser composto.
Resposta
Logo,
é um número primo.