Prove que se (n-1)!+1 for divisível por n, então n é um número primo.

Passo 1

O enunciado diz que, dado um inteiro n>1, se
n mid l((n-1)! + 1r),
então devemos provar que n é primo.
O conteúdo que vamos usar é aritmética modular e o fato de que, em um fatorial (n-1)!, aparecem todos os inteiros de 1 até n-1.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que n não seja primo, ou seja, seja composto. Então existe um divisor próprio d de n tal que
1 < d < n
e d mid n. Como d está entre 2 e n-1, ele aparece como fator em
(n-1)! = 1 cdot 2 cdot 3 cdots (n-1)
Logo
d mid (n-1)!,
ou seja,
(n-1)! equiv 0 pmod d

Passo 3

Pela hipótese temos n mid ( (n-1)! + 1). Como dmid n, então também deveríamos ter
d mid l((n-1)! + 1r)
Mas de (n-1)!equiv0pmod d segue
(n-1)! + 1 equiv 1 pmod d,
ou seja, d não divide (n-1)!+1. Isso contradiz o fato de que d divide n e, portanto, deveria dividir qualquer múltiplo de n.

Passo 4

A contradição mostra que nossa suposição “ n é composto” é impossível. Portanto, sob a condição nmid((n-1)!+1), o inteiro n não pode ser composto.

Resposta

Logo, n é um número primo.

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