Dado o P.V.I.
encontre sua solução na forma explícita e o intervalo no qual ela está bem definida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial (P.V.I.) envolvendo uma equação diferencial. Nosso objetivo é encontrar uma solução explícita para essa equação e descobrir em qual intervalo essa solução está bem definida. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Podemos fatorar
, ficando assim:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis, ou seja, deixar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos integrar em relação a
no lado esquerdo e em relação a
no lado direito:
Passo 5
Vamos resolver as integrais:
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Combinação das constantes
:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Passo 7
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Substituindo
na expressão de
:
Passo 8
Por fim, precisamos determinar em qual intervalo a solução está bem definida. Isso ocorre onde o denominador não é zero:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, a solução está bem definida para
entre -1 e
.
Resposta
A solução explícita do P.V.I. é:
E ela está bem definida no intervalo: