Dado o P.V.I.
ly^prime=2 y^2+6 x y^2 y(0)=1 encontre sua solução na forma explícita e o intervalo no qual ela está bem definida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial (P.V.I.) envolvendo uma equação diferencial. Nosso objetivo é encontrar uma solução explícita para essa equação e descobrir em qual intervalo essa solução está bem definida. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
y' = 2 y^2 + 6 x y^2
Podemos fatorar y' = y^2 (2 + 6x) , ficando assim:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis, ou seja, deixar todos os termos com dydx = y^2 (6x + 2) Rightarrow dyy^2 = (6x + 2) dx de um lado e os termos com do outro lado. Para isso, dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos integrar em relação a integral 1y^2 dy = integral (6x + 2) dx no lado esquerdo e em relação a no lado direito:

Passo 5

Vamos resolver as integrais:
  • Lado esquerdo:
integral y^-2 dy = -y^-1 + C1
  • Lado direito:
integral (6x + 2) dx = 3x^2 + 2x + C2
Combinação das constantes - 1y = 3x^2 + 2x + C :

Passo 6

Agora, vamos resolver para - 1y = 3x^2 + 2x + C Rightarrow y = -13x^2 + 2x + C :

Passo 7

Para encontrar a constante 1 = -13(0)^2 + 2(0) + C Rightarrow 1 = -1C Rightarrow C = -1 , usamos a condição inicial y = -13x^2 + 2x -1 :
Substituindo na expressão de :

Passo 8

Por fim, precisamos determinar em qual intervalo a solução está bem definida. Isso ocorre onde o denominador não é zero:
3x^2 + 2x -1 neq 0
Resolvendo a equação quadrática:
De
Portanto, a solução está bem definida para entre -1 e .

Resposta

A solução explícita do P.V.I. é:
y(x) = -13x^2 + 2x -1
E ela está bem definida no intervalo:
-1 < x < 13

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